calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
PROBLEMAS
; 1. Tres estudiantes de matemáticas han ordenado una pizza de 14 pulgadas. En lugar de cortar
en la forma tradicional, deciden hacer cortes paralelos, como se ilustra en la figura. Debido
a sus conocimientos de matemáticas, pueden determinar dónde cortar de modo que cada
uno obtenga la misma cantidad de pizza. ¿Dónde se hacen los cortes?
1
2. Evalúe y .
x 7 x dx
El método directo sería empezar con fracciones parciales, pero eso sería cruel. Pruebe con una
sustitución.
14 pulg
FIGURA PARA EL PROBLEMA 1
y 1
0
3. Evalúe (s 3 1 x 7 s 7 1 x 3 ) dx.
4. Los centros de dos discos de radio 1 son una unidad aparte. Encuentre el área de la unión
de los dos discos.
5. Una elipse es cortado por un círculo de radio a. El eje mayor de la elipse coincide con el diámetro
del círculo y el eje menor de la elipse tiene una longitud 2b. Demuestre que el área del
resto del círculo es igual al área de una elipse con semiejes a y a b.
pier
y
L
(x, y)
6. Una persona parada inicialmente en el punto O camina a lo largo de un muelle jalando un
bote mediante una cuerda de longitud L. La persona mantiene la cuerda recta y tensa. La
trayectoria que sigue el bote es una curva llamada tractrix y tiene la propiedad de que
la cuerda es siempre tangente a la curva (véase la figura).
(a) Muestre que si la trayectoria seguida por el bote es la gráfica de la función y f x, en
consecuencia
O
(L, 0)
x
f x dy
dx sL 2 x 2
x
FIGURA PARA EL PROBLEMA 4
(b) Determine la función y f x.
7. Una función f se define mediante
f x y
0
cos t cosx t dt
0 x 2
Determine el valor mínimo de f .
8. Si n es un entero positivo, demuestre que
9. Muestre que
Sugerencia: comience mostrando que si
y 1
ln x n dx 1 n n!
0
y 1
1 x 2 n dx 22n n! 2
0
2n 1!
I n
denota la integral, en tal caso
I k1 2k 2
2k 3 Ik
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