calculo-de-una-variable-1

382 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
DEMOSTRACIÓN Si x y x h están en a, b, entonces
tx h tx y xh
f t dt y x
f t dt
a
a
y x
a
f t dt y xh
f t dt y x
f t dt
x
a
(por la propiedad 5)
y xh
f t dt
x
y de este modo, para h 0,
y
y=ƒ
m
M
2
tx h tx
h
1 y xh
f t dt
h
Por ahora suponga que h 0. Puesto que f es continua en x, x h, el teorema del
valor extremo establece que hay números u y v en x, x h tal que f u m y
f v M, donde m y M son los valores máximo y mínimo absolutos de f en x, x h.
Véase figura 6.
De acuerdo con la propiedad 8 de las integrales, tiene
x
mh y xh
f t dt Mh
x
0
FIGURA 6
x u √=x+h
x
es decir,
f uh y xh
f t dt f vh
x
Como h 0, puede dividir esta desigualdad entre h:
f u 1 y xh
f t dt f v
h
x
Enseguida use la ecuación 2 para reemplazar la parte media de esta desigualdad:
3
f u
tx h tx
h
f v
TEC En Module 5.3 se proporciona evidencia
visual para TFC1.
Se puede demostrar la desigualdad 3 de una manera similar a la del caso cuando h 0.
Véase ejercicio 67.
Ahora deje que h l 0. Después u l x y v l x, ya que u y v quedan entre x y h.
Por lo tanto,
x
lím f u lím f u f x
h l 0 u lx
y
lím f v lím f v f x
h l 0 v lx
porque f es continua en x. De acuerdo con (3) y el teorema de la compresión que