calculo-de-una-variable-1

738 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
& Otras opciones aparte de la desigualdad de
Taylor son las fórmulas siguientes para el residuo.
Si f n1 es continua en un intervalo I y
x I, por lo tanto
R nx 1 n! yx x t n f n1 t dt
a
En estos términos,
y x
a
f t dt y x
f a Mt a dt
a
f x f a f ax a M
x a2
2
Esta expresión recibe el nombre de forma integral
del término del residuo. Otra fórmula, que se llama
forma de Lagrange del término del residuo, establece
que hay un número z entre x y a tal que
R nx f n1 z
x an1
n 1!
Esta versión es una generalización del teorema
del valor medio, que es el caso n 0).
Las demostraciones de estas fórmulas, además
del análisis de cómo usarlas para resolver
los ejemplos de las secciones 11.10 y 11.11, se
encuentran en la página web
www.stewartcalculus.com
Dé un clic en Additional Topics y luego en Formulas
for the Remainder Term in Taylor series.
Pero R 1 x f x T 1 x f x f a f ax a. De modo que
R 1 x M x a2
2
Un razonamiento similar, aplicando f x M, demuestra que
R 1 x M x a2
2
De donde
f x f a f ax a M x a2
2
R 1x M 2 x a 2
Aunque hemos supuesto supuesto que x a, cálculos similares muestran que esta desigualdad
es válida también para x a.
Esto demuestra la desigualdad de Taylor para el caso donde n 1. El resultado para
cualquier n se demuestra de manera parecida integrando n 1 veces. (Véase el ejercicio
69 para el caso n 2.)
NOTA En la sección 11.11 se explora el uso de la desigualdad de Taylor en funciones
que se aproximan. Aquí, el uso inmediato es junto con el teorema 8.
Con frecuencia, al aplicar los teoremas 8 y 9 es útil recurrir al hecho siguiente.
x n
10 lím
para todo número real x
n l n! 0
Es verdadero porque de acuerdo con el ejemplo 1, la serie x n n! es convergente para toda
x y de este modo su n-ésimo término se aproxima a 0.
V
EJEMPLO 2 Demuestre que e x es igual a la suma de su serie de Maclaurin.
SOLUCIÓN Si f x e x , entonces f n1 x e x para toda n. Si d es cualquier número
positivo y x d , después f n1 x e x e d . Por eso, la desigualdad de Taylor,
con a 0 y M e d , establece que
e d
R n x para x d
M e d
n 1! x n1
Observe que la misma constante
ecuación 10,
funciona para todo valor de n. Pero, según la
lím
n l
e d
n 1! x n1 e d lím
n l
x n1
n 1! 0