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SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS |||| 697
74. (a) Una sucesión a n se define recursivamente mediante la
ecuación a n 1 2 a n1 a n2 para n 3, donde a 1 y a 2
son números reales. Experimente con varios valores de
a 1 y a 2 y con la ayuda de su calculadora adivine el límite
de la sucesión.
(b) Encuentre lím n l a n en términos de a 1 y a 2 escribiendo
a n1 a n en función de a 2 a 1 y sume la serie.
75. Considere la serie
n1
n
n 1!
(a) Calcule las sumas parciales s 1, s 2, s 3 y s 4. ¿Reconoce los
denominadores? Mediante el patrón conjeture una fórmula
para s n.
(b) Aplique la inducción matemática para demostrar su conjetura.
(c) Demuestre que la serie infinita dada es convergente y
calcule la suma
76. En la figura hay una cantidad infinita de círculos que se aproximan
a los vértices de un triángulo equilátero. Cada círculo toca
a otros círculos y a los lados del triángulo. Si el triángulo tiene
lados que miden una unidad de longitud, calcule el área total
que ocupan los círculos.
11.3
LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS
n
s n n
i1
5 1.4636
10 1.5498
50 1.6251
100 1.6350
500 1.6429
1000 1.6439
5000 1.6447
1
i 2
En general, es difícil determinar la suma exacta de una serie. Se es capaz de lograrlo en el
caso de series geométricas y las series 1nn 1 porque en cada uno de estos casos es
posible encontrar una fórmula simple para la n-ésima suma parcial s n . Pero por lo regular no
es fácil calcular lím n l s n . Por lo tanto, en las siguientes secciones se tratan varias pruebas
que permiten determinar si una serie es convergente o divergente sin que se tenga que encontrar
en forma explícita su suma. (En algunos casos, los métodos permiten determinar unas
buenas estimaciones de la suma.) El primer método utiliza integrales impropias.
Empiece por investigar las series cuyos términos son los recíprocos de los cuadrados de
los enteros positivos:
No hay una fórmula sencilla para la suma de los primeros n términos, pero la tabla generada
mediante una computadora de los valores, dados en el margen sugiere que las sumas
parciales se aproximan a un número cercano a 1.64 cuando n l y de este modo parece
como si la serie fuera convergente.
Se confirma esta impresión con un razonamiento geométrico. En la figura 1 se ilustra la
curva y 1x 2 y algunos rectángulos que se encuentran abajo de la curva. La base de cada
uno de los rectángulos es un intervalo de longitud igual a 1; la altura es igual al valor
de la función y 1x 2 en el extremo derecho del intervalo de este modo, la suma de las
áreas de los rectángulos es
y
n1
1
n 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2
1
1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2
y= 1 ≈
s n
n1
1
n 2
área= 1 1@
0 1 2
4 5
x
FIGURA 1
área= 1 2@
área= 1 3@
área= 1 4@
área= 1 5@