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SECCIÓN 11.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN |||| 705
11.4
PRUEBAS POR COMPARACIÓN
En las pruebas por comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie que ya se
sabe que es convergente o divergente. Por ejemplo, la serie
1
n1
1
2 n 1
recuerde la serie , la cual es una serie geométrica con a 1 y r 1 n1 12 n
2 2 por lo tanto,
es convergente. Como la serie (1) es similar a la serie convergente, se presiente que también
debe ser convergente. De hecho, así es. La desigualdad
1
2 n 1 1 2 n
demuestra que la serie dada (1) tiene términos menores que los de la serie geométrica y, por
lo tanto, todas las sumas parciales son también más pequeñas que 1 (la suma de la serie
geométrica). Esto quiere decir que las sumas parciales forman una sucesión creciente acotada,
la cual es convergente. Asimismo, se infiere que la suma de la serie es menor que la
suma de la serie geométrica:
n1
1
2 n 1 1
Un razonamiento similar se puede hacer para demostrar la prueba siguiente, la cual se
aplica sólo a series cuyos términos son positivos. La primera parte dice que si tiene una
serie cuyos términos son menores que los de una serie conocida convergente, por lo tanto
la serie también es convergente. La segunda parte establece que si empieza con una serie
cuyos términos son mayores que los de una serie divergente conocida, en tal caso también
es divergente.
PRUEBA POR COMPARACIÓN Suponga que a n y b n son series con términos
positivos.
(i) Si b n es convergente y a n b n para toda n, entonces a n es convergente.
(ii) Si b n es divergente y a n b n para toda n, entonces a n es divergente.
& Es importante estar atento a la distinción entre
sucesión y serie. Una sucesión es un listado de
números, y una serie es una suma. Con toda
serie a n hay dos sucesiones asociadas: la sucesión
a n de términos y la sucesión s n de
sumas parciales.
La serie estándar se usa
con la prueba por comparación
DEMOSTRACIÓN
(i) Sea
s n n
a i
i1
t n n
b i
i1
t
b n
n1
Puesto que ambas series tienen términos positivos, las sucesiones s n y t n son crecientes
s n1 s n a n1 s n . Asimismo, t n l t, así que t n t para toda n. Como
a i b i , s n t n . De este modo, s n t para toda n. Esto quiere decir que s n es creciente
y está acotada superiormente, por el teorema de sucesiones monótonas la serie a n
es convergente.
(ii) Si b n es divergente, después t n l (puesto que t n es creciente). Pero a i b i
de modo que s n t n . Así que s n l . Por lo tanto a n diverge.
Naturalmente, al usar la prueba por comparación es necesario tener alguna serie conocida
b n para los fines de la comparación. La mayor parte de las veces se usan las series:
& p [ 1n p que convergen si p 1 y divergen si p 1; véase (11.3.1)] o bien,
& series geométricas [ ar n1 es convergente si r 1 y es divergente si r 1 ;
véase (11.2.4)].