calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.5 PROBABILIDAD |||| 555
8.5
PROBABILIDAD
El cálculo desempeña un papel en el análisis del comportamiento aleatorio. Suponga que
se considera el nivel de colesterol de una persona elegida al azar de un cierto grupo de
edad, o la estatura de una mujer adulta elegida al azar, o la duración de una batería de cierto
tipo elegida en forma aleatoria. Tales cantidades se llaman variables aleatorias continuas,
porque sus valores varían en realidad en un intervalo de números reales, aunque se
podrían medir o registrar sólo hasta el entero más próximo. Quizá se desee conocer la probabilidad
de que el nivel de colesterol sea mayor que 250, o la probabilidad de que la altura
de una mujer adulta esté entre 60 y 70 pulgadas, o la probabilidad de que la duración
de la batería que se está comprando sea de entre 100 y 200 horas. Si X representa la duración
de ese tipo de batería, su probabilidad se denota como sigue:
P100 X 200
De acuerdo con la frecuencia en la interpretación de probabilidad, este número es la proporción
de largo plazo de las baterías del tipo especificado cuyos tiempos de vida están
entre 100 y 200 horas. Puesto que representa una proporción, la probabilidad naturalmente
cae entre 0 y 1.
Toda variable aleatoria continua X tiene una función de densidad de probabilidad
f. Esto significa que la probabilidad de que X esté entre a y b se encuentra integrando f
de a a b:
1
Pa X b y b
f x dx
a
Por ejemplo, en la figura 1 se muestra la gráfica de un modelo de la función de densidad
de probabilidad f para una variable aleatoria X definida como la altura en pulgadas de
una mujer adulta en Estados Unidos (de acuerdo con los datos de la National Health Survey).
La probabilidad de que la altura de una mujer elegida al azar de esta población esté entre
60 y 70 pulgadas, es igual al área bajo la gráfica de f de 60 a 70.
y
y=ƒ
área=probabilidad de que
la altura de una mujer
esté entre 60 y 70
pulgadas
FIGURA 1
Función de densidad de probabilidad
para la altura de una mujer adulta
0 60 65
70
x
La función de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X satisface la condición
f x 0 para toda x. Debido a que las probabilidades se miden en una escala de
0 a 1,
2
y
f x dx 1
EJEMPLO 1 Sea f x 0.006x10 x para 0 x 10 y f x 0 para los otros
valores de x.
(a) Compruebe que f es una función de densidad de probabilidad.
(b) Determine P4 X 8.