calculo-de-una-variable-1

218 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
Al resolver para dydx obtiene
dy
dx y 3 4x
x
x 2 1 15
3x 2
& Si no hubiera utilizado la derivación
logarítmica en el ejemplo 7, habría tenido que
aplicar tanto la regla del cociente como la regla
del producto. El cálculo resultante habría sido
horrendo.
Como tiene una expresión explícita para y, puede sustituir y escribir
dy
dx x 34 sx 2 1 3 3x 2 5 4x x
x 2 1 15
3x 2
PASOS EN LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
1. Tome logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y f x y utilice
las leyes de los logaritmos para simplificar.
2. Derive implícitamente con respecto a x.
3. Resuelva la ecuación resultante para y.
Si f x 0 para algunos valores de x, entonces ln fx no está definido, pero puede
escribir y f x y aplicar la ecuación (4). Se ilustra este procedimiento probando la
versión general de la regla de la potencia, según se prometió en la sección 3.1.
& Si x 0 puede demostrar que f0 0,
para n 1, de modo directo a partir de la
definición de derivada.
y x n DEMOSTRACIÓN Sea y aplique la derivación logarítmica:
f x nx n1
REGLA DE LA POTENCIA Si n es cualquier número real y f x x n , entonces
Por lo tanto,
De donde,
ln y ln x n n ln x
y
y n x
y n y x n x n
x nxn1
x 0
| Debe distinguir con cuidado la regla de la potencia x n nx n1 , donde la base
es variable y el exponente constante de la regla para derivar funciones exponenciales
a x a x ln a, donde la base es constante y el exponente es variable.
En general, se tienen cuatro casos para exponentes y bases
d
1. (a y b son constantes)
dx a b 0
2.
3.
d
dx f xb b f x b1 f x
d
dx a tx a tx ln atx
4. Para hallar ddx f x tx , se puede aplicar la derivación logarítmica, como en el
ejemplo que sigue: