calculo-de-una-variable-1

EJEMPLO 3
Ninguna simplificación algebraica o sustitución es obvia, de modo que aquí no aplican
los pasos 1 y 2. El integrando es una función racional, así que se aplica el procedimiento
de la sección 7.4, sin olvidar que el primer paso es dividir.
V
y
EJEMPLO 4
SECCIÓN 7.5 ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN |||| 487
x 5 1
x 3 3x 2 10x dx
y
dx
xsln x
Aquí todo lo que se necesita es el paso 2. Se sustituye u ln x porque su diferencial es
du dxx, la cual aparece en la integral.
V EJEMPLO 5
y 1 x
1 x dx
Aunque aquí funciona la sustitución de racionalización
u 1 x
1 x
[(ii) paso 3(d)], conduce a una función de racionalización muy complicada. Un método
más fácil es hacer algunas operaciones algebraicas [como en el paso 1 o el paso 4(c)].
Al multiplicar numerador y denominador por s1 x, se tiene
y 1 x
1 x dx y 1 x
s1 x 2 dx
1
y
s1 x dx x
y
2 s1 x dx 2
sen 1 x s1 x 2 C
¿SE PUEDEN INTEGRAR TODAS LAS FUNCIONES CONTINUAS?
Surge la pregunta: ¿La estrategia de integración permitirá hallar la integral de toda función
continua? Por ejemplo, ¿es posible emplearla para evaluar x e x2 dx? La respuesta es no, por
lo menos no en términos de las funciones con las que se está familiarizado.
Las funciones con las que se ha estado tratando en este libro se llaman funciones elementales.
Éstas son polinomios, funciones racionales, funciones de potencia x a , funciones
exponenciales a x , funciones logarítmicas, funciones trigonométricas y trigonométricas
inversas, funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, y todas las funciones que se
pueden obtener de éstas mediante las cinco operaciones de suma, resta, multiplicación, división
y composición. Por ejemplo, la función
f x x 2 1
x 3 2x 1
es una función elemental.
Si f es una función elemental, entonces f es una función elemental pero x f x dx no
necesariamente es una función elemental. Considere f x e x2
. Puesto que f es continua,
su integral existe, y si se define la función F por
Fx y x
e t 2 dt
lncosh x xe
sen 2x
0