calculo-de-una-variable-1

126 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
que es precisamente la proposición de que la función hx ftx es continua en a; es
decir, f t es continua en a.
V EJEMPLO 9 ¿En dónde son continuas las funciones siguientes?
(a) hx senx 2
(b) Fx ln1 cos x
SOLUCIÓN
(a) Tiene hx ftx donde
_10 10
FIGURA 7
y=ln(1+cos x)
2
_6
tx x 2 y fx sen x
Ahora t es continua sobre , puesto que es un polinomio, y f también es continua en todas
partes. Por consiguiente, h f t es continua sobre por el teorema 9.
(b) Con base en el teorema 7, sabe que fx ln x es continua y tx 1 cos x es
continua (porque tanto y 1 como y cos x son continuas). Por lo tanto, del teorema 9,
Fx ftx es continuo siempre que esté definido. Ahora bien, ln 1 cos x está
definido cuando 1 cos x 0. De este modo, no está definido cuando cos x 1, y esto
sucede cuando x p, 3p,.... Por esto, F tiene discontinuidades cuando x es un múltiplo
impar de p y es continua sobre los intervalos entre estos valores. (Véase la figura 7.)
Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente teorema,
cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo.
10 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Suponga que f es continua sobre el intervalo
cerrado a, b y sea N cualquier número entre fa y fb, donde fa fb.
Entonces existe un número c en a, b tal que fc N.
El teorema del valor intermedio afirma que una función continua toma todos los valores
intermedios entre los valores de la función fa y fb. Este hecho se ilustra en la figura 8.
Observe que el valor N se puede tomar una vez como en la parte a o más de una vez como
en la parte (b).
y
f(b)
N
f(a)
y=ƒ
y
f(b)
N
f(a)
y=ƒ
FIGURA 8
0 a c b x
(a)
0 a c¡ c c£ b x
(b)
y
f(a)
y=ƒ
N
y=N
f(b)
0 a
b x
FIGURA 9
Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene agujeros
o rupturas, en tal caso es fácil creer que el teorema del valor intermedio es cierto. En términos
geométricos, dice que si se da cualquier recta horizontal y N entre y fa y
y fb, como en la figura 9, por lo tanto la gráfica de f no puede saltar sobre la recta.
Debe intersecar y N en alguna parte.
Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor
intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 44).
Un uso del teorema del valor intermedio es hallar las raíces de ecuaciones, como en el
ejemplo siguiente.