calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.4 ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES |||| 651
r=cos 2¨ ¨= π 4
4
A y
y
4
4 1
0
1
2r 2 d 1 4
2 y
y
4 cos2 2 d
0
21 cos 4 d
V EJEMPLO 2 Determine el área de la región que yace dentro del círculo r 3 sen y
fuera de la cardioide r 1 sen .
4
cos 2 2 d
1 2[ 1 4 sen 4]
4 0
8
FIGURA 4
¨=_ π 4
r=3 sen ¨
SOLUCIÓN La cardioide véase el ejemplo 7 en la sección 10.3 y el círculo se bosquejan
en la figura 5 y se sombrea la región deseada. Los valores de a y b en la fórmula 4 se determinan
al hallar los puntos de intersección de las dos curvas. Se cortan cuando 3 sen
1 sen , que da sen 1 2, de modo que 6, 56. El área deseada se encuentra
restando el área dentro de la cardioide entre 6 y 56 del área dentro del
círculo de 6 a 56. Así,
A 1 2 y 56
3 sen 2 d 1 2 y 56
1 sen 2 d
6
6
¨= 5π 6
FIGURA 5
O
¨= π 6
r=1+sen ¨
Puesto que la región es simétrica respecto al eje vertical 2, se puede escribir
2
A 21
2 y 9sen2 d 1 2
2 y 1 2sen sen d
2 6 6
2
y 8 sen2 1 2 sen d
6
2
y 3 4 cos 2 2 sen d
6
[porque sen 2 1 2 1 cos 2]
2
3 2 sen 2 2 cos ]6
¨=b
r=f(¨)
En el ejemplo 2 se ilustra el procedimiento para hallar el área de la región acotada por
dos curvas polares. En general, sea una región, como se ilustra en la figura 6, que está
acotada por curvas con ecuaciones polares r f , r t, a y b, donde f
t 0 y 0 b a 2. El área A de se encuentra restando el área interna r t
del área dentro de r f , así que por medio de la fórmula 3 se tiene
O
¨=a
r=g(¨)
A y b 1
2 f 2 d y b 1
2t 2 d 1 2 y b
f 2 t 2 d
a
a
a
FIGURA 6
| PRECAUCIÓN El hecho de que un solo punto tenga muchas representaciones en coordenadas
polares, dificulta a veces hallar todos los puntos de intersección de dos curvas polares.
Por ejemplo, es obvio de la figura 5 que el círculo y la cardioide tienen tres puntos de
intersección; sin embargo, en el ejemplo 2 se resolvieron las ecuaciones r 3 sen y
r 1 sen y se hallaron sólo dos puntos ( 3 2, 6) y ( 3 2, 56) . El origen es también un
punto de intersección, pero no se puede determinar resolviendo las ecuaciones de las curvas
porque el origen no tiene representación simple en coordenadas polares que satisfaga ambas
ecuaciones. Observe que, cuando se representa como 0, 0 o 0, , el origen satisface
a r 3 sen y, de tal manera, yace en el círculo; cuando se representa como 0, 32,
satisface a r 1 sen y, por consiguiente, está en la cardioide. Considere dos puntos
que se mueven a lo largo de las curvas cuando el valor de parámetro se incrementa de 0
a . En una curva el origen se alcanza en y ; en la otra curva se alcanza en
2
0