calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
6. Un círculo C de radio 2r tiene su centro en el origen. Un círculo de radio r gira sin resbalar en
dirección contraria al giro de las manecillas del reloj alrededor de C. Un punto P está situado
en un radio fijo del círculo giratorio a una distancia b de su centro, 0 b r. [Vea las partes
(i) e (ii) de la figura.] Sea L la del centro de C al centro del círculo giratorio y sea u el ángulo
que L forma con el eje x positivo.
(a) Usando u como parámetro, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
trazada por P son
x b cos 3u 3r cos u
y b sen 3u 3r sen u
Nota: Si b 0, la trayectoria es un círculo de radio 3r; si b r, la trayectoria es un epicicloide.
La trayectoria trazada por P para 0 b r se llama epitrocoide.
; (b) Grafique la curva de diversos valores de b entre 0 y r.
(c) Demuestre que un triángulo equilátero puede inscribirse en el epitrocoide y que su centroide
está sobre el círculo de radio b con centro en el origen.
Nota: Éste es el principio del motor rotatorio Wankel. Cuando el triángulo equilátero gira
con sus vértices en el epitrocoide, su centroide recorre un círculo cuyo centro está en el
centro de la curva.
(d) En casi todos los motores rotatorios, los lados de los triángulos equiláteros son sustituidos
por arcos de círculos con centro en los vértices opuestos como en la parte (iii) de la figura.
(Entonces el diámetro del rotor es constante.) Demuestre que el rotor ajustará en el epitrocoide
si b 3 2 (2 s3)r .
y
P=P¸
y
P
2r
r
b
x
¨
P¸
x
(i)
(ii)
(iii)
673