calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 109
2.4
DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE
La definición intuitiva de límite que se presenta en la sección 2.2 es inaceptable en algunos
casos porque son vagas las frases como “x se acerca a 2” y “fx se acerca más y
más a L”. Con objeto de ser capaz de demostrar en forma concluyente que
lím
x l 0x 3
cos 5x
10 000 0.0001
o bien
sen x
lím 1
x l 0 x
se tiene que hacer una definición precisa de límite.
Para motivar la definición precisa de límite considere la función
f x 2x 1
6
si x 3
si x 3
Es evidente y claro que cuando x se acerca a 3 con x 3, entonces fx está cerca de 5 y así
lím xl3 fx 5.
Con el fin de obtener más detalles con respecto a cómo varía fx cuando x se acerca a
3, se plantean las siguientes preguntas:
¿Qué tan cerca de 3 tiene que estar x para que fx difiera de 5 en menos de 0.1?
& El uso de la letra griega d (delta) ya es una
costumbre en esta situación.
La distancia de x a 3 es x 3 y la distancia desde fx a 5 es fx 5 , de modo que el
problema es encontrar un número d tal que
fx 5 0.1 si x 3 d pero x 3
Si x 3 0, entonces x 3, de modo que una formulación equivalente del problema es
determinar un número d tal que
fx 5 0.1 si 0 x 3 d
Observe que si 0 x 3 0.12 0.05, entonces
fx 5 2x 1 5 2x 6 2 x 3 0.1
es decir, fx 5 0.1 si 0 x 3 0.05
De este modo, una respuesta al problema lo da d 0.05; es decir, si x está dentro de una
distancia de 0.05 desde 3, entonces fx estará dentro de una distancia de 0.1 desde 5.
Si cambia la cantidad 0.1 del problema por una cantidad menor 0.01, entonces usando
el mismo método se encuentra que fx difiere de 5 por menos de 0.01 siempre que x difiera
de 3 en menos de (0.01)2 0.005:
De manera igual,
fx 5 0.01 si 0 x 3 0.005
fx 5 0.001 si 0 x 3 0.0005
Las cantidades 0.1, 0.01 y 0.001 son consideradas como tolerancias de error que podría permitir.
Para que 5 sea el límite exacto de fx cuando x tiende a 3, tiene no sólo que ser capaz
de llevar la diferencia entre fx y 5 por abajo de cada una de estas tres cantidades; tiene que