calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.4 INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL |||| 393
EJEMPLO 2 Evalúe y cos
V
.
sen 2
SOLUCIÓN Esta integral indefinida no es evidente de inmediato en la tabla 1, por lo que se
aplican las identidades trigonométricas para reescribir la función antes de integrar:
y 3
0
d
y cos
sen 2
EJEMPLO 3 Calcule x 3 6x dx.
d y 1
SOLUCIÓN Al aplicar el TFC2 y la tabla 1, tiene
sen cos
sen d
y csc cot d csc C
& La figura 2 es la gráfica del integrando del
ejemplo 4. Sabe por la sección 5.2 que el valor
de la integral se puede interpretar como la
suma de las áreas marcadas con un signo
más menos el área marcada con un signo
menos.
y
3
0
+ +
FIGURA 2
-
2 x
y 3
x 3 6x dx x 4
0
4 6 x 2 3
20
Compare este cálculo con el del ejemplo 2(b) de la sección 5.2.
EJEMPLO 4 Determine y 2
2x 3 6x 3
V
dx e interprete el resultado en función
0 x 2 1
de áreas.
SOLUCIÓN El teorema fundamental da
( 1 4 3 4 3 3 2 ) ( 1 4 0 4 3 0 2 )
81 4 27 0 0 6.75
y 2
2x 3 6x 3 dx 2
0 x 2 1 x 4
4 6 x 2
2
2 3 tan1 x0
1 2 x 4 3x 2 3 tan 1 x] 2 0
1 22 4 32 2 3 tan 1 2 0
4 3 tan 1 2
Éste es el valor exacto de la integral. Si desea una aproximación decimal, utilice una calculadora
para obtener un valor aproximado de tan 1 2. Al hacerlo tiene
y 2
0
2x 3 6x 3
x 2 1 dx 0.67855
EJEMPLO 5 Evalúe y 9 2t 2 t 2 st 1
dt.
1 t 2
SOLUCIÓN En primer lugar, necesita escribir el integrando en una forma más sencilla, al
llevar a cabo la división:
y 9
1
2t 2 t 2 st 1
dt y 9
2 t 12 t 2 dt
t 2 1
2t t 32
3
2
9
t1
2t 2 3 t 32 1 9
11
t1
[2 9 2 39 32 1 9] (2 1 2 3 1 32 1 1)
18 18 1 9 2 2 3 1 32 4 9