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A48 |||| APÉNDICE G EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL
G
EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL
El tratamiento de funciones exponenciales y logarítmicas hasta ahora se ha apoyado en la
intuición, que está basada en evidencia numérica y visual. (Véase secciones 1.5, 1.6 y 3.1).
Aquí se usa el teorema fundamental de cálculo para dar un tratamiento alternativo que proporcione
una base más segura para estas funciones.
En lugar de empezar con a x y definir log a x como su inversa, esta vez empiece por
definir ln x como una integral y luego defina la función exponencial como su inversa. El
lector debe recordar que no se usa ninguno de los resultados y definiciones previos relacionados
con funciones exponenciales y logarítmicas.
EL LOGARITMO NATURAL
Primero defina ln x como una integral.
1
DEFINICIÓN
La función de logaritmo natural es la función definida por
ln x y 1
1
1
t dt 0 x 0
y
0
FIGURA 1
y
y= 1 t
área=ln x
1 x t
La existencia de esta función depende del hecho de que siempre existe la integral de una
función continua. Si x 1, entonces ln x se puede interpretar geométricamente como el
área bajo la hipérbola y 1/t de t 1 a t x. (Véase figura 1.) Para x 1
Para 0 x 1,
ln x y x
1
ln x y 1
1
t dt y 1 1
x t dt 0
y por lo tanto ln x es el negativo del área que se muestra en la figura 2.
1
1
t dt 0
área=_ln x
V
EJEMPLO 1
y= 1 t
a) Por comparación de áreas, demuestre que 2 ln 2 3 4. .
b) Use la regla del punto medio con n 10 para estimar el valor de ln 2.
1
0
x
FIGURA 2
y
1
t
SOLUCIÓN
a) Puede interpretar ln 2 como el área bajo la curva y 1/t de 1 a 2. En la figura 3 ve
que esta área es mayor que el área del rectángulo BCDE y menor que el área del trapecio
ABCD. Por lo tanto
y= 1 t
A
E
D
B C
0 1 2 t
FIGURA 3
b) Si usa la regla del punto medio con f(t) 1/t, n 10 y t 0.1, obtiene
ln 2 y 2
1
1
t
1
2 1 ln 2 1 1 2 1 1 2
1
2 ln 2 3 4
dt (0.1)[f (1.05) f (1.15) f (1.95)
(0.1) 1
1.05 1
1.15 1
1.95 0.693