calculo-de-una-variable-1

A42 |||| APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS
3 EL TEOREMA DE RESTRICCIÓN Si f x tx hx para toda x en un intervalo
abierto que contenga a (excepto posiblemente en a) y
lím f x lím hx L
x l a x l a
Entonces
lím tx L
x l a
PRUEBA Sea 0. Como lím x l a f x L , hay un número 1 0 tal que
esto es,
si
si
0 x a
0 x a
1
1
entonces
entonces
f x L
L f x L
Como lím x l a hx L , hay un número 2 0 tal que
esto es,
si
0 x a
2
entonces
hx L
si
0 x a
2
entonces
L hx L
Sea mín 1, 2. Si 0 x a , entonces 0 x a 1 y
, de modo que
0 x a
2
L f x tx hx L
En particular,
L tx L
tx L
y por lo tanto . Por lo tanto, lím x l a tx L .
SECCIÓN 2.5 TEOREMA Si f es una función biunívoca continua definida en un intervalo (a, b),
entonces su función inversa f 1 también es continua.
PRUEBA Primero demuestre que si f es biunívoca y continua en (a, b), entonces debe ser creciente
o decreciente en (a, b). Si no fuera creciente ni decreciente, entonces existirían
números x 1 , x 2 y x 3 en (a, b) con x 1 x 2 x 3 tales que f(x 2 ) no están entre f(x 1 ) y f(x 3 ). Hay
dos posibilidades: (1) f(x 3 ) está entre f(x 1 ) y f(x 2 ) o (2) f(x 1 ) está entre f(x 2 ) y f(x 3 ). (Trace
una figura.) En el caso (1) aplique el teorema de valor intermedio a la función continua f
para obtener un número c entre x 1 y x 2 tal que f(c) f(x 3 ). En el caso (2) el teorema de valor
intermedio da un número c entre x 2 y x 3 tal que f(c) f(x 1 ). En cualquier caso, ha contradicho
el hecho de que f es biunívoca.
Suponga, para más precisión, que f es creciente en (a, b). Tome cualquier número y 0 del
dominio de f 1 y hacemos f 1 (y 0 ) x 0 ; esto es, x 0 es el número en (a, b) tal que f(x 0 ) y 0 .
Para demostrar que f 1 es continua en y 0 tome cualquier e 0 tal que el intervalo
(x 0 e, x 0 e) está contenido en el intervalo (a, b). Como f es creciente, correlaciona los
números del intervalo (x 0 e, x 0 e) con los números del intervalo (f(x 0 e), f(x 0 e))
y f 1 invierte la correspondencia. Si con d denota los números más pequeños d 1 y 0
f(x 0 e) y d 2 f(x 0 e) y 0 , entonces el intervalo (y 0 d, y 0 d) está contenido en el
intervalo (f(x 0 e), f(x 0 e)) y así está correlacionado en el intervalo (x 0 e, x 0 e)