calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.3 APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA |||| 549
29–33 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas
dadas.
x 4
y 0
29. y x 2 , x y 2
30.
31.
y x 2,
y sen x, y x 2
y cos x, x 0,
32. y x 3 , x y 2,
33. x 5 y 2 , x 0
40–41 Encuentre el centroide de la región mostrada, no por
integración, sino mediante la localización de los centroides de
los rectángulos y triángulos (del ejercicio 39) y por medio de la
aditividad de los momentos.
40.
y
3
2
1
41.
y
2
1
M x
34–35 Calcule los momentos y y el centro de masa de una
lámina con la densidad y forma dadas.
M y
_2
0 1
3
x
_2
_1
_1
0 1
2
x
3
34. 35.
y
y
1
10
(4, 3)
42. Un rectángulo R con lados a y b se divide en dos partes R 1 y R 2
mediante un arco de la parábola que tiene sus vértices en las
esquinas de R y pasa a través de la esquina opuesta. Hallar el
centroide de ambos R 1 y R 2.
0 1
x
0
x
y
_1
R
b
36. Aplique la regla de Simpson para estimar el centroide de la
región que se muestra.
0 a
R¡
x
y
4
; 37. Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas
y y x 2 , 0 x 2, hasta tres decimales. Bosqueje
la región y grafique el centroide para ver si su respuesta es
razonable.
y 2 x 2
0 2 4 6 8
; 38. Use una gráfica para hallar coordenadas x aproximadas de los
puntos de intersección de las curvas y x ln x y y x 3 x.
Después determine (de manera aproximada) el centroide de la
región acotada por estas curvas.
39. Pruebe que el centroide de cualquier triángulo se localiza
en la intersección de las medianas. [Sugerencias: coloque
los ejes de modo que los vértices sean (a, 0), (0, b) y (c, 0).
Recuerde que una mediana es un segmento de recta de
un vértice al punto medio del lado opuesto. Recuerde
que las medianas se intersecan en un punto a dos tercios
del tramo de cada vértice (a lo largo de la mediana) al
lado opuesto].
x
43. Si x – es la coordenada del centro de masa de la región que se
encuentra bajo la gráfica de una función continua f, donde
a x b. Demuestre que
y b
cx dfx dx cx – d y b
fx dx
a
a
44–46 Use el teorema de Pappus para hallar el volumen del
sólido.
44. Una esfera de radio r (Use el ejemplo 4.)
45. Un cono con altura h y radio de base r
46. El sólido obtenido al hacer girar el triángulo con vértices (2, 3),
(2, 5) y (5, 4) respecto al eje x
47. Demuestre las fórmulas 9.
48. Sea la región localizada entre las curvas y x m
y y x n , 0 x 1, donde m y n son enteros con
0 n m.
(a) Bosqueje la región .
(b) Encuentre las coordenadas del centroide de .
(c) Trate de hallar los valores de m y n tal que el centroide está
fuera de .