calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 215
eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son
paralelas.
64. (a) ¿Dónde la recta normal a la elipse x 2 xy y 2 3, en el
punto (1, 1) cruza la elipse por segunda vez?
; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la elipse y la recta
normal.
65. Encuentre todos los puntos de la curva x 2 y 2 xy 2 donde la
pendiente de la recta tangente es 1.
66. Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse
x 2 4y 2 36 que pasen por el punto (12, 3).
67. (a) Suponga que f es una función derivable uno a uno y que su
función inversa f 1 también es derivable. Utilice la derivación
implícita para demostrar que
f 1 x
1
f f 1 x
siempre que el denominador no sea 0.
(b) Si f 4 5 y f 4 2 3, encuentre f 1 5.
68. (a) Demuestre que f(x) 2x cos x es uno a uno.
(b) ¿Cuál es el valor de f 1 (1)?
(c) Use la fórmula del ejercicio 67(a) para hallar (f 1 )(1).
69. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia
la derecha del eje y y una sombra creada por la región
elíptica x 2 4y 2 5. Si el punto (5, 0) está en el borde de
la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara?
y
?
0
x
_5
3
≈+4¥=5
3.6
DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS
En esta sección se usa la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones logarítmicas
y log a x y, en particular, de la función logaritmo natural y ln x. [Suponga
que las funciones logarítmicas son derivables; ciertamente esto es plausible a partir de sus
gráficas (véase la figura 12 de la sección 1.6).]
1
d
dx log a x 1
x ln a
DEMOSTRACIÓN Sea y log a x. Entonces
a y x
&
La fórmula 3.4.5 expresa que
d
dx a x a x ln a
Si se deriva esta ecuación de manera implícita con respecto a x, mediante la fórmula (3.45)
obtiene
a y ln a dy
dx 1
y por consiguiente
dy
dx 1
a y ln a 1
x ln a
Si en la fórmula (1) pone a e, en tal caso el factor ln a en el lado derecho se convierte
en ln e 1 y obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural
log e x ln x:
2
d
dx ln x 1 x