calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 9.5 ECUACIONES LINEALES |||| 607
16. t dy , t 0,
y1 0
dt 2y t 3
dv
17. , v0 5
dt 2tv 3t 2 e t 2
18. 2xy y 6x, x 0,
19. xy y x 2 sen x,
20.
x 2 1 dy
dx
y 0
y4 20
3xy 1 0, y0 2
en el capacitor es QC, donde Q es la carga (en coulombs), así
que en este caso la ley de Kirchhoff da
RI Q C Et
Pero I dQdt (véase el ejemplo 3 en la sección 3.7), de este
modo se tiene
R dQ 1 dt C Q Et
Suponga que la resistencia es 5 , la capacitancia es 0.05 F,
una batería da un voltaje constante de 60 V, y la carga inicial es
Q0 0 C. Encuentre la carga y la corriente en el tiempo t.
C
; 21–22 Resuelva la ecuación diferencial y use una calculadora o
computadora para graficar varios miembros de la familia de soluciones.
¿Cómo cambia la curva solución cuando varía C?
E
R
21. xy 2y e x
22. y cos xy cos x
23. Una ecuación diferencial de Bernoulli (en honor a James Bernoulli)
es de la forma
Observe que, si n 0 o 1, la ecuación de Bernoulli es lineal.
Para otros valores de n, muestre que la sustitución y 1n
transforma la ecuación de Bernoulli en la ecuación lineal
24–25 Use el método del ejercicio 23 para resolver la ecuación diferencial.
24.
du
dx
xy y xy 2
dy
dx
Pxy Qxy
n
1 nPxu 1 nQx
u
26. Resolver la ecuación de segundo orden
haciendo la sustitución u y
y 2 x y y 3
xy2y 12x 2
27. En el circuito mostrado en la figura 4, un generador suministra
un voltaje de 40 V, la inductancia es 2 H, la resistencia es 10 ,
e I0 0.
(a) Encuentre It.
(b) Determine la corriente después de 0.1 s.
28. En el circuito mostrado en la figura 4, un generador suministra
un voltaje de Et 40 sen 60t volts, la inductancia es 1 H,
la resistencia es 20 , e I0 1 A.
(a) Encuentre It.
(b) Determine la corriente después de 0.1 s.
; (c) Use un dispositivo de graficación para dibujar la gráfica de
la función de corriente.
29. En la figura se muestra un circuito que contiene una fuerza
electromotriz, un capacitor con capacitancia C farads (F), y un
resistor con una resistencia de R ohms ( ). La caída de voltaje
25.
x 2
30. En el circuito del ejercicio 29, R 2 , C 0.01 F, Q0 0,
y Et 10 sen 60t. Encuentre la carga y la corriente en el
tiempo t.
31. Sea Pt el nivel de desempeño de alguien que aprende una
habilidad como una función de tiempo de capacitación t. La
gráfica de P se llama curva de aprendizaje. En el ejercicio 13
de la sección 9.1 se propuso la ecuación diferencial
dP
kM Pt
dt
como un modelo razonable para el aprendizaje, donde k es una
constante positiva. Resuélvala como una ecuación diferencial lineal
y use su solución para graficar la curva de aprendizaje
32. Se contrató a dos nuevos trabajadores para una línea de ensamble.
Jaime procesó 25 unidades durante la primera hora y 45
unidades durante la segunda hora. Marco procesó 35 unidades
durante la primera hora y 50 unidades durante la segunda hora.
Por medio del modelo del ejercicio 31, y suponiendo que
P0 0, estime el número máximo de unidades por hora
que cada trabajador es capaz de procesar.
33. En la sección 9.3 se examinaron problemas de mezcla en los
que el volumen de líquido permaneció constante y se vio que
tales problemas dan lugar a ecuaciones separables. (Véase el
ejemplo 6 de esa sección). Si las relaciones de flujo hacia dentro
y hacia fuera del sistema son diferentes, entonces el volumen
no es constante y la ecuación diferencial resultante es lineal
pero no separable.
Un tanque contiene 100 L de agua. Una solución con una
concentración de sal de 0.4 kgL se agrega en una proporción
de 5 Lmin. La solución se mantiene mezclada y se drena del
tanque a una rapidez de 3 Lmin. Si yt es la cantidad de sal
(en kilogramos) después de t minutos, muestre que y satisface
la ecuación diferencial
dy
dt 2 3y
100 2t
Resuelva esta ecuación y determine la concentración después
de 20 minutos.
34. Un recipiente con una capacidad de 400 L se llena con una mezcla
de agua y cloro con una concentración de 0.05 g de cloro por