calculo-de-una-variable-1

676 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
multiplicar por una potencia de 1. En el ejemplo 1(b) el factor 1 n significa que
empieza con un término negativo. Como aquí se busca iniciar con un término positivo,
se usa 1 n1 , o bien, 1 n1 . Por lo tanto,
a n 1 n1 n 2
5 n
EJEMPLO 3 En este caso hay algunas sucesiones que no tienen una ecuación que las defina
en forma simple.
(a) La sucesión p n , donde p n es la población mundial el uno de enero del año n.
(b) Si a n es el n-ésimo dígito en la expansión decimal del número e, entonces a n es una
sucesión bien definida cuyos primeros términos son
7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . .
(c) Las condiciones siguientes definen en forma recursiva la sucesión de Fibonacci f n
f 1 1 f 2 1 f n f n1 f n2 n 3
Cada uno de los términos es la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
Esta sucesión surgió cuando el matemático italiano del siglo XIII, a quien se conoce como
Fibonacci, resolvió un problema que se relacionaba con la cría de conejos (véase
ejercicio 71).
0 1 1
2
FIGURA 1
a¡ a a£ a¢
Una sucesión como la del ejemplo 1(a), a n nn 1, se puede representar dibujando
sus términos en una recta numérica como en la figura 1, o trazando la gráfica como en
la figura 2. Observe que, como una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de
los enteros positivos, su gráfica consta de puntos aislados con coordenadas
1, a 1 2, a 2 3, a 3 ... n, a n ...
a n
1
1
7
a= 8
De acuerdo con la figura 1 o la 2, parece que los términos de la sucesión
a n nn 1 se aproximan a 1 cuando n se incrementa. En efecto, la diferencia
1 n
n 1 1
n 1
0
2 3 4 5 6 7
n
FIGURA 2
se puede hacer tan pequeña como se quiera al incrementar a n. Se indica lo anterior
escribiendo
lím
n l
n
n 1 1
En general, la notación
lím a n L
n l
quiere decir que los términos de la sucesión a n se aproximan a L cuando n se incrementa
suficientemente. Observe que la definición siguiente del límite de una sucesión
es muy parecida a la definición de límite de una función en el infinito dada en la sección
2.6.