calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.3 VOLÚMENES MEDIANTE CASCARONES CILÍNDRICOS |||| 435
y
V y 2
2x2x 2 x 3 dx 2 y 2
2x 3 x 4 dx
0
2[ 1 2 x 4 1 5 x 5 ] 0 2 2(8 32 5 ) 16 5
0
2≈-˛
x 2
x
Se puede comprobar que el método del cascarón cilíndrico proporciona la misma
respuesta que las “rebanadas”.
y
FIGURA 6
& En la figura 7 se observa una imagen
generada mediante computadora del sólido
cuyo volumen se calcula en el ejemplo 1.
x
FIGURA 7
FIGURA 8
y
y=x
y=≈
Altura del
cascarón=x-≈
0 x
x
NOTA Al comparar la solución del ejemplo 1 con las observaciones del comienzo
de esta sección, es claro que el método de los cascarones cilíndricos es mucho más sencillo
que el método en el que se utilizan rondanas para este problema. No es necesario encontrar
las coordenadas del máximo local y no se tiene que resolver la ecuación de la curva, ni dar
x en función de y. Sin embargo, en otros ejemplos, pueden ser más sencillos los métodos
de la sección anterior.
V EJEMPLO 2 Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región entre
y x y y x 2 alrededor del eje y.
SOLUCIÓN La región y un cascarón característico se ilustran en la figura 8. El cascarón tiene
radio x, circunferencia 2x y altura x x 2 . También, el volumen es
V y 1
2xx x 2 dx 2 y 1
x 2 x 3 dx
0
2 x 3
3 x 4
1
40
Como se muestra en el ejemplo siguiente, el método del cascarón cilíndrico funciona
muy bien si hace girar alrededor del eje x. Simplemente dibuje un croquis para identificar
el radio y la altura del cascarón.
6
0
y
1
y
x=¥
altura del cascarón=1-¥
radio del
cascarón=y
x=1
0
1
x
V EJEMPLO 3 Mediante un cascarón cilíndrico calcule el volumen del sólido que se obtiene
al hacer girar la región bajo la curva y sx desde 0 hasta 1 alrededor del eje x.
SOLUCIÓN Este problema se resolvió usando discos en el ejemplo 2 de la sección 6.2.
Para usar cascarones, llame a la curva y sx (en la figura de ese ejemplo) x y 2 en
la figura 9. Por lo que toca a la rotación alrededor del eje x, un cascarón característico
tiene radio y, circunferencia 2y y altura 1 y 2 . Así, el volumen es
V y 1
2y1 y 2 dy 2 y 1
y y 3 dy
0
0
2 y 2
2 y 4
1
4
0
2
FIGURA 9
En este problema, el método del disco fue más simple.