calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 161
A la relación de cambio de la velocidad instantánea con respecto al tiempo se le llama aceleración
at del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la función
velocidad y en consecuencia, es la segunda derivada de la función posición:
o en la notación de Leibniz
at vt st
La tercera derivada f es la derivada de la segunda derivada: f f . De este modo,
f x se puede interpretar como la pendiente de la curva y f x o como la relación
de cambio de f x. Si y f x, entonces, las notaciones alternativas para la tercera derivada
son
y f x
a dv
dt d 2 s
dt 2
2
d d 2 y
d 3 y
dx dx dx 3
El proceso puede continuar. La cuarta derivada f usualmente se señala mediante f 4 . En
general, la n-esima derivada de f se señala mediante f n y se obtiene de f derivando n
veces. Si y fx, escriba
y n f n x d n y
dx n
EJEMPLO 7 Si fx x 3 x, hallar f x e interpretar f 4 x.
SOLUCIÓN En el ejemplo 6 encontró que f x 6x. La gráfica de la segunda derivada tiene
ecuación y 6x y de este modo, es una línea recta con pendiente 6. Ya que la derivada
f x es la pendiente de f x, se tiene
f x 6
para todos los valores de x. Así, f es una función constante y su gráfica es una línea
horizontal. En consecuencia, para todos los valores de x,
f 4 x 0
Se puede interpretar la tercera derivada físicamente en el caso donde la función es la
función posición s st de un objeto que se traslada a lo largo de una línea recta. Porque
s s a, la tercera derivada de la función posición es la derivada de la función
aceleración y se le denomina jerk (impulso):
j da
dt
d 3 s
dt 3
Por esto el jerk j es la razón de cambio de la aceleración. Nombre apropiado porque un jerk
considerable significa un cambio repentino de aceleración, que ocasiona un movimiento
repentino en un vehículo.
Se ha visto que una aplicación de la segunda y tercera derivada sucede al analizar el
movimiento de objetos empleando aceleración y jerk. Se investigará otra aplicación de la
segunda derivada en la sección 4.3, donde se muestra cómo el conocer f proporciona información
acerca de la forma de la gráfica de f. En el capítulo 11 vera cómo la segunda
derivada y derivadas superiores permiten representar funciones como sumas de series infinitas.