calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.1 SUCESIONES |||| 677
1
DEFINICIÓN
Una sucesión a n tiene como límite L, y se escribe
lím a n L
n l
o
a n l L cuando n l
si podemos aproximar los términos a n tanto como se quiera cuando n es suficientemente
grande. Si existe lím n l a n , se dice que la sucesión converge (o
que es convergente). De lo contrario se dice que la sucesión diverge (o es divergente).
En la figura 3 se ilustra la definición 1 mostrando las gráficas de las dos sucesiones que
tienen como límite a L.
a n
L
a n
L
FIGURA 3
Gráficas de las
dos sucesiones
lím a n =L
n `
0 n
0 n
Una versión más exacta de la definición 1 es como se indica a continuación.
2
DEFINICIÓN
Una sucesión a n tiene por límite a L y se escribe
& Compare esta definición con la
definición 2.6.7.
lím a n L
n l
o bien
a n l L cuando n l
si para todo 0 hay un entero correspondiente N tal que
si n N entonces a n L
La definición 2 se ilustra mediante la figura 4, en la cual los términos a 1 , a 2 , a 3 ,... se
localizan en la recta numérica. No importa qué tan pequeño se escoja al intervalo L ,
L , existe una N tal que todos los términos de la sucesión desde a N 1 en adelante
deben estar en el intervalo.
a¡ a£ a aˆ a N+1 a N+2 a˜ aß a∞ a¢ a
FIGURA 4 0 L-∑ L L+∑
Otra ilustración de la definición 2 es la figura 5. Los puntos sobre la gráfica de a n
deben estar entre las rectas horizontales y L y y L si n N. Esta imagen debe
ser válida, no importa qué tan pequeño se haya escogido , pero por lo regular un más
pequeño requiere una N más grande.
y
L
y=L+∑
y=L-∑
FIGURA 5
0 1 2 3 4
N
n