calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN |||| 743
Y al usar la serie binomial con k 1 2 y donde x fue reemplazada por x4, tenemos
1
s4 x 1 1 x 1
2 412
2 n0 1 2
n
4n
x
1 2
1 1 2 x 4 1 2 3 2
2!
x 42
1 2 3 2 5 2
3!
x 43
1 2 3 2 5 2 1 2 n 1
1 2
1 1 8 x 1 3
2!8 2 x2 1 3 5
3!8 3 x 3
n!
x 4n
1 3 5 2n 1
n!8 n x n
Sabe de (17) que esta serie converge con x4 1, es decir, x 4, de modo que el radio
de convergencia es R 4.
En la tabla siguiente están reunidas, para referencia futura, algunas de las series importantes
de Maclaurin que ha deducido en esta sección y en la anterior..
TABLA 1
Series importantes de Maclaurin y
sus radios de convergencia.
1
R 1
1 x
x n 1 x x 2 x 3
n0
e x x n
n! 1 x 1! x 2
2! x 3
3!
n0
sen x
1 n
n0
cos x
1 n
n0
tan 1 x
1 n
n0
x 2n1
2n 1! x x 3
x 2n
2n! 1 x 2
x 2n1
2n 1 x x 3
3! x 5
5! x 7
2! x 4
4! x 6
3 x 5
5 x 7
7! R
6! R
R
R 1
7
TEC Module 11.10/11.11 permite
ver cómo polinomios sucesivos de Taylor
se aproximan a la función original.
1 x k
n0
nx k kk 1 kk 1k 2
n 1 kx x 2 x 3
2!
3!
R 1
Una razón de que las series de Taylor sean importantes, es que permiten integrar funciones
que no se podían manejar antes. En efecto, en la introducción de este capítulo
mencionamos que Newton integraba a menudo funciones expresándolas primero como series
de potencias, y que después integraba la serie término a término. No es posible integrar
la función f x e x 2 por medio de las técnicas conocidas hasta este momento,
porque su antiderivada no es una función elemental (véase sección 7.5). En el ejemplo
siguiente se aplica la idea de Newton para integrar esta función.