calculo-de-una-variable-1

714 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
; 21–22 Calcule las 10 primeras sumas parciales de la serie y
dibuje tanto la sucesión de términos como la sucesión de las sumas
parciales en la misma pantalla. Estime el error al usar la décima
suma parcial para aproximarse a la suma total.
1 n1
21. 22.
23–26 Demuestre que la serie es convergente. ¿Cuántos términos
de la serie necesita sumar para determinar la suma con la exactitud
señalada?
23.
n1
error 0.00005
24. 1 n
error 0.0001
n 5 n
n1
25. 1 n
error 0.000005
10 n n!
n0
n1
26. 1 n1 ne n error 0.01
27–30 Obtenga un valor aproximado de la suma de la serie que sea
correcta hasta la cuarta cifra decimal.
27. 1 n1
28.
n1 n 5
29. 1 n1 n 2
30.
10 n
n1
n 32
1 n1
n1 n 6
1 n1
n1 n 3
n1
n1
1 n n
8 n
1 n
3 n n!
31. ¿Es la 50a. suma parcial s 50 de la serie alternante
n1 1 n1 n una estimación excesiva o una subestimación de
la suma total? Explique.
32–34 ¿Para qué valores de p es convergente cada serie?
32.
34.
1 n1
n1 n p
p
n1
ln n
1
n2 n
35. Demuestre que es divergente la serie 1 n1 b n , donde
b si n es impar y b n 1n 2
n 1n
si n es par. ¿Por qué no se
aplica la prueba de la serie alternante?
36. Siga los pasos siguientes para demostrar que
33.
Sean h n y s n las sumas parciales de las series armónica y
armónica alternante.
(a) Demuestre que s 2n h 2n h n .
(b) Según el ejercicio 40 de la sección 11.3
y, por lo tanto,
h n ln n l
h 2n ln2n l
1 n1
ln 2
n1 n
1 n
n1 n p
cuando n l
cuando n l
Apoyándose en estos hechos y el inciso (a), demuestre que
s 2n l ln 2 cuando n l .
11.6
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ
Dada una serie a n, considere las series correspondientes
n1 a n a 1 a 2 a 3
cuyos términos son los valores absolutos de los términos de la serie original.
& Hay pruebas para la convergencia para
series con términos positivos y para series
alternantes. Pero, ¿y si los signos de los
términos cambian de manera irregular? En
el ejemplo 3, se observa que la idea de la
convergencia absoluta ayuda a veces en
tales casos.
1 DEFINICIÓN Una serie a n es llamada absolutamente convergente si la serie
de valores absolutos a n es convergente.
Observe que si a n es una serie con términos positivos, entonces a n a n y por lo tanto
la convergencia absoluta es lo mismo que la convergencia.
EJEMPLO 1 La serie
1 n1
1 1
n1 n 2 2 1 2 3 1 2 4
2