calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 381
y
Para t 3, f t es negativa y por tanto empiece a restar áreas:
4
3
g
t4 t3 y 4
f t dt 4.3 1.3 3.0
3
2
1
t5 t4 y 5
f t dt 3 1.3 1.7
4
0
1
2
FIGURA 4
x
©=j f(t) dt
a
3
4
5
x
Use estos valores para trazar la gráfica de g en la figura 4. Advierta que,
debido a que f(t) es positiva para t 3, se sigue sumando área para t 3 y
por lo tanto t es creciente hasta x 3, donde alcanza un valor máximo. Para x 3,
t decrece porque f(t) es negativa.
Si hace f t t y a 0, después, aprovechando el ejercicio 27 de la sección 5.2,
tiene
tx y x
tdt x 2
0 2
y
ƒ
h
Observe que tx x, es decir, t f . En otras palabras, si t se define como la integral de
f mediante la ecuación 1, entonces t resulta ser, cuando menos en este caso, una antiderivada
de f. Y si traza la gráfica de la derivada de la función t que se ilustra en la figura 4
al estimar las pendientes de las tangentes, obtiene una gráfica como la de f en la figura 2.
Por eso, sospeche que en el ejemplo 1 también t f.
Con objeto de observar por qué esto puede ser verdadero en general considere cualquier
función continua f con f x 0 . Entonces tx x x f t dt puede interpretarse como el
a
área debajo de la gráfica de f de a a x, como en la figura 1.
Con el fin de calcular t(x) a partir de la definición de derivada, en primer lugar observe
que, para h 0, tx h tx se obtiene restando áreas, por lo tanto es el área
debajo de la gráfica de f de x a x h (el área sombreada de la figura 5). Para h pequeñas,
a partir de la figura puede ver que esta área es aproximadamente igual al área del rectángulo
con altura f(x) y ancho h:
0 a
b t
x x+h
FIGURA 5
tx h tx hfx
tx h tx
por eso
f x
h
En consecuencia, por intuición, espere que
tx h tx
tx lím
f x
h l 0 h
El hecho de que esto sea verdadero, aun cuando f no sea necesariamente positiva, es la primera
parte del teorema fundamental del cálculo.
& El nombre de este teorema se abrevia
como TFC1: expresa que la derivada de una integral
definida con respecto a su límite superior es
el integrando evaluado sobre el límite superior.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, PARTE 1. Si f es continua en a, b, entonces
la función t definida por
tx y x
f t dt
a
a x b
es continua en a, b y derivable en a, b, y tx f x.