calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 217
SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar simplifica la función dada aplicando las leyes de los logaritmos,
entonces la derivación se vuelve más fácil:
d
dx ln x 1
sx 2 d dx [lnx 1 1 2 lnx 2]
1
x 1 2 1 1
x 2
& En la figura 2 se muestra la gráfica de la
función f x ln x del ejemplo 6 y
la de su derivada f x 1x. Note que
cuando x es pequeño, la gráfica de
está inclinada y, por lo consiguiente, f x es
grande (positiva o negativa).
3
y ln x
(Esta respuesta se puede dejar como está pero, si usara un denominador común, vería
que da la misma respuesta que en la solución 1.)
V EJEMPLO 6 Encuentre f x si .
SOLUCIÓN Puesto que
se concluye que
f x ln x
f x ln x
lnx
si x 0
si x 0
f
fª
_3 3
f x
1
x
1
x 1 1 x
si x 0
si x 0
FIGURA 2
_3
Por esto, f x 1x para todo x 0 .
Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 6:
4
DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
3x 2 5 d
dx ln x 1 x
Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos,
cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. El método que se
aplica en el ejemplo siguiente se llama derivación logarítmica.
EJEMPLO 7 Derive y x 34 sx 2 1
.
SOLUCIÓN Tome logaritmos de ambos miembros de la ecuación y aplique las leyes de los
logaritmos para simplificar:
ln y 3 4 ln x 1 2 lnx 2 1 5 ln3x 2
Al derivar implícitamente con respecto a x, resulta
1
y
dy
dx 3 4 1 x 1 2
2x
x 2 1 5 3
3x 2