calculo-de-una-variable-1

2.1
LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD
En esta sección se analiza cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la tangente a
una curva o la velocidad de un objeto.
PROBLEMA DE LA TANGENTE
(a)
P
t
t
C
La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar”. De este
modo, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. ¿De qué manera se puede
precisar esta idea?
Para una circunferencia podría seguirse la idea de Euclides y decir que una tangente es
una recta que intersecta a la circunferencia una y sólo una vez como en la figura 1(a). Para
curvas más complicadas, esta definición es inadecuada. En la figura 1(b), se muestran
dos rectas, l y t, que intersectan a la curva C en un punto P. La recta l interseca C sólo una
vez, pero es evidente que no se parece a lo que consideramos una tangente. Por otra parte,
la recta t parece una tangente pero intersecta a la curva C dos veces.
Para ser específicos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente t a la
parábola y x 2 en el ejemplo siguiente.
l
V EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y x 2 en el punto
P1, 1.
FIGURA 1
y=≈
y
(b)
Q{x, ≈} t
P(1, 1)
SOLUCIÓN Podremos obtener la ecuación de la recta tangente al conocer su pendiente. La
dificultad es que se conoce sólo un punto P, de t, en tanto que necesitamos dos puntos
para calcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximación para m si elige un
punto cercano Qx, x 2 de la parábola (como en la figura 2) y calcular la pendiente m PQ
de la línea secante PQ.
Elija x 1, de modo que Q P. Entonces
m PQ x 2 1
x 1
0
x
Por ejemplo, para el punto Q1.5, 2.25
FIGURA 2
m PQ 2.25 1
1.5 1 1.25
0.5 2.5
x
m PQ
2 3
1.5 2.5
1.1 2.1
1.01 2.01
1.001 2.001
x
m PQ
0 1
0.5 1.5
0.9 1.9
0.99 1.99
0.999 1.999
Las tablas en el margen muestran los valores de m PQ para varios valores de x cercanos
a 1. Entre más cerca está Q de P, más lo está x de 1 y, por lo que se ve en las tablas,
m PQ está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe
ser m 2.
Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las
rectas secantes y, simbólicamente, expresamos esto al escribir
lím m PQ m
Q lP
y
x 2 1
lím
x l 1 x 1 2
Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pendiente
de la ecuación de una recta (véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta
tangente que pasa por 1, 1 como
y 1 2x 1 o y 2x 1
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