calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO |||| 281
Antes de la demostración, dé una mirada a las gráficas de algunas funciones representativas
que cumplen las tres hipótesis. En la figura 1 se muestran las gráficas de cuatro de
dichas funciones. En cada caso aparece que hay por lo menos un punto c, f c en la gráfica
donde la tangente es horizontal y, por lo tanto, f c 0. Por lo tanto, el teorema de
Rolle es posible.
y
y
y
y
0
a c¡ c b x
0
a c b x
0
a c¡ c b x
0
a
c
b
x
(a)
(b)
(c)
(d)
FIGURA 1
&
Presentación de casos
DEMOSTRACIÓN
Hay tres casos:
CASO I
&
f(x) k, una constante
Entonces f x 0, de modo que el número c se puede tomar de cualquier número
en a, b.
CASO II
&
f(x) >f(a) para cualquier x en (a, b) [como en la figura 1(b) o (c)]
Según el teorema del valor extremo, (el cual aplica por la hipótesis 1), f tiene un valor
máximo en cualquier lugar de a, b. Puesto que f a f b, debe alcanzar su valor máximo
en un número c en el intervalo abierto a, b. Entonces f tiene un máximo local en
c, y, según la hipótesis 2, f es derivable en c. Por lo tanto, f c 0, de acuerdo con el
teorema de Fermat.
CASO III
&
f(x)