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SECCIÓN 11.2 SERIES |||| 687
PROYECTO DE
LABORATORIO
CAS
SUCESIONES LOGÍSTICAS
Una sucesión que surge en ecología como un modelo para el crecimiento poblacional se define
por medio de la ecuación logística en diferencias
p n1 kp n1 p n
donde p n es el tamaño de la población de la n-ésima generación de una sola especie. Para poder
trabajar con los números, p n es una fracción del tamaño máximo de la población, de modo
que 0 p n 1. Observe que la forma de la ecuación es similar a la ecuación logística en
diferencias de la sección 9.4. El modelo discreto, con sucesiones en lugar de funciones continuas,
es preferible para modelar las poblaciones de insectos, donde el apareamiento y la muerte ocurren
de un modo periódico.
Un ecologista se interesa en predecir el tamaño de la población a medida que el tiempo avanza,
y plantea estas preguntas: ¿Se estabilizará en un valor límite? ¿Cambiará de manera cíclica? O
bien, ¿mostrará un comportamiento aleatorio?
Escriba un programa para calcular los primeros n términos de esta sucesión con una población
inicial p 0, donde 0 p 0 1. Con este programa efectúe lo siguiente.
1. Calcule 20 o 30 términos de la sucesión para p 0 1 2 y para dos valores de k tales que 1 k
3. Dibuje las sucesiones. ¿Convergen? Repita para un valor distinto de p 0 entre 0 y 1.
¿El límite depende del valor de p 0 escogido? ¿Depende del valor elegido de k?
2. Calcule términos de la sucesión para un valor de k entre 3 y 3.4 y dibújelos. ¿Qué observa
con respecto al comportamiento de los términos?
3. Experimente con valores de k entre 3.4 y 3.5. ¿Qué sucede con los términos?
4. Para valores de k entre 3.6 y 4, calcule y dibuje por lo menos 100 términos y comente el
comportamiento de la sucesión. ¿Qué sucede si cambia p 0 por 0.001? Este tipo de comportamiento
se llama caótico y lo muestran poblaciones de insectos en ciertas condiciones.
11.2
SERIES
Si trata de sumar los términos de una sucesión infinita a n n1 , obtiene una expresión de
la forma
1
a 1 a 2 a 3 a n
que se denomina serie infinita, o sólo serie, y se denota con el símbolo
a n
n1
o
a n
Pero, ¿tiene sentido hablar de suma de una cantidad infinita de términos?
Sería imposible encontrar la suma finita de la serie
1 2 3 4 5 n
porque si empieza a sumar los términos, obtiene sumas acumulativas 1, 3, 6, 10, 15,
21, . . . y después del n-ésimo término, llega a nn 12, lo cual se vuelve muy grande
cuando n se incrementa.
Sin embargo, si empieza por sumar los términos de la serie
1
2 1 4 1 8 1
16 1
32 1
64 1 2 n