calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.5 SERIES ALTERNANTES |||| 711
DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE
pares:
Primero considere las sumas parciales
s 2 b 1 b 2 0 puesto que b 2 b 1
s 4 s 2 b 3 b 4 s 2 puesto que b 4 b 3
En general, s 2n s 2n2 b 2n1 b 2n s 2n2 puesto que b 2n b 2n1
Por esto,
0 s 2 s 4 s 6 s 2n
Pero también puede escribir
s 2n b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 2n2 b 2n1 b 2n
Todos los términos entre paréntesis son positivos, de modo que s 2n b 1 para toda n. Por
lo tanto, la sucesión s 2n de las sumas parciales pares se incrementa y está acotada por
arriba. Debido a eso, de acuerdo con el teorema de la sucesión monótona es convergente.
Llame s a su límite, es decir,
lím s 2n s
n l
Ahora calcule el límite de las sumas parciales impares:
lím s 2n1 lím s 2n b 2n1
n l n l
lím
n l
s 2n lím
n l
b 2n1
s 0
s
[según la condición ii)]
Puesto que tanto la suma parcial par como la suma parcial impar convergen en s, lím nl
s n s (véase el ejercicio 80(a) de la sección 11.1), por lo que la serie es convergente.
& En la figura 2 se ilustra el ejemplo 1; se muestran
las gráficas de los términos a n 1 n1 n
y las sumas parciales s n. Observe cómo los valores
de s n van en zigzag dentro del límite, el cual al
parecer está alrededor de 0.7. De hecho, la
suma exacta de la serie es ln 2 0.693 (véase
ejercicio 36).
1
s n
a n
0 n
V
EJEMPLO 1 La serie armónica alternante
cumple con
1
(i) b n1 b n porque
n 1 1 n
(ii) lím b 1
n lím
n l n l n 0
de modo que la serie es convergente de acuerdo con la prueba de la serie
alternante.
V
EJEMPLO 2 La serie
1 1 2 1 3 1 4
1 n 3n
n1 4n 1
es alternante pero
n1
1 n1
n
FIGURA 2
lím b 3n
n lím
n l n l 4n 1 lím 3
n l
4 1 n
3 4