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SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 231
8. Si se empuja una pelota de modo que alcance una velocidad
inicial de 5 ms hacia abajo a lo largo de cierto plano inclinado,
en tal caso la distancia que ha rodado después de t segundos es
s 5t 3t 2 .
(a) Encuentre la velocidad una vez que transcurren 2 s.
(b) ¿Cuánto tiempo tarda para que la velocidad alcance 35 ms?
9. Si se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde la
superficie de la Luna, con una velocidad de 10 ms, su altura
(en metros) después de t segundos es h 10t 0.83t 2 .
(a) ¿Cuál es la velocidad de la piedra después que transcurren
3 s?
(b) ¿Cuál es la velocidad de la piedra una vez que se ha
elevado 25 m?
10. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 80 fts, en seguida su altura después de t
segundos es s 80t 16t 2 .
(a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
(b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 96 pies arriba de
la superficie de la tierra en su trayectoria hacia arriba y luego
hacia abajo?
11. (a) Una compañía fabrica chips para computadora a partir de
placas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud
del lado de esas placas muy próxima a 15 mm y, asimismo,
saber cómo cambia el área A(x) de ellas cuando cambia
la longitud x del lado. Encuentre A15 y explique su
significado en esta situación.
(b) Demuestre que la rapidez de cambio del área de uno de los
cuadrados con respecto a la longitud de su lado es la mitad
de su perímetro. Intente explicar geométricamente por qué
esto es cierto, dibujando un cuadrado cuya longitud x
del lado se incremente en una cantidad x. ¿Cómo puede
obtener una aproximación del cambio resultante en el área,
A, si x es pequeño?
12. (a) Es fácil hacer crecer cristales de clorato de sodio en forma
de cubos dejando que una solución de esta sal en agua se
evapore con lentitud. Si V es el volumen de uno de esos
cubos, con longitud x del lado, calcule dVdx cuando x 3
mm y explique su significado.
(b) Demuestre que la razón de cambio del volumen de un cubo
con respecto a la longitud de su arista es igual a la mitad del
área superficial de ese cubo. Explique geométricamente por
qué este resultado es cierto; básese en el ejercicio 11 (b) para
establecer una analogía.
13. (a) Encuentre la razón promedio del cambio del área de un
círculo con respecto a su radio r, cuando éste cambia de
(i) 2 a 3 (ii) 2 a 2.5 (iii) 2 a 2.1
(b) Encuentre la razón de cambio instantánea cuando r 2.
(c) Demuestre que la razón de cambio del área de un
círculo con respecto a su radio (a cualquier r) es igual a la
circunferencia del círculo. Intente explicar geométricamente
por qué esto es cierto dibujando un círculo cuyo radio se
incrementa en una cantidad r. ¿Cómo puede obtener una
aproximación del cambio resultante en el área, A, si r es
pequeño?
14. Se deja caer una piedra en un lago que crea una onda circular
que viaja hacia afuera con una rapidez de 60 cms. Encuentre la
proporción a la cual aumenta el área dentro del círculo después
de (a) 1 s, (b) 3 s y (c) 5 s. ¿Qué puede concluir?
15.
Se está inflando un globo esférico. Encuentre la proporción de
aumento del área superficial (S 4pr 2 ) con respecto al
radio r, cuando éste es de (a) 1 pie, (b) 2 pies y (c) 3 pies.
¿A qué conclusiones llega?
16. (a) El volumen de una célula esférica en crecimiento es
V 4 3 r 3 , donde el radio r se mide en micrómetros
(1 m 10 6 m). Encuentre la razón de cambio
promedio de V con respecto a r, cuando éste cambia de
(i) 5 a 8 m (ii) 5 a 6 m (iii) 5 a 5.1 m
(b) Halle la razón de cambio instantánea de V con respecto a r,
cuando r 5 m.
(c) Demuestre que la razón de cambio del volumen de una
esfera con respecto a su radio es igual a su área superficial.
Explique geométricamente por qué esto es cierto. Argumente
por analogía con el ejercicio 13(c).
17. La masa de parte de una varilla metálica que se encuentra entre
su extremo izquierdo y un punto x metros a la derecha es 3x 2
kg. Encuentre la densidad lineal (véase el ejemplo 2)
cuando x es (a) 1 m, (b) 2 m y (c) 3 m. ¿En dónde es más
alta la densidad y dónde es más baja?
18. Si un tanque contiene 5 000 galones de agua, la cual se drena
desde el fondo del tanque en 40 min, en tal caso la ley de
Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque
después de t minutos como
V 5 0001
t 2
0 t 40
40
19.
Encuentre la cantidad de drenado después de (a) 5 min, (b) 10
min, (c) 20 min y (d) 40 min. ¿En qué momento fluye el
agua más rápido hacia afuera? ¿Con mayor lentitud? Resuma
sus hallazgos.
La cantidad de carga, Q, en coulombs (C) que ha pasado por
un punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segundos)
se expresa con Qt t 3 2t 2 6t 2. Encuentre la
corriente cuando (a) t 0.5 s y (b) t 1 s. Véase el ejemplo
3. La unidad de corriente es el ampere
( 1 A 1 Cs). ¿En qué momento la corriente es la más baja?
20. La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F
de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de
masa M es
F GmM
r 2
21.
donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre
los cuerpos.
(a) Encuentre dFdr y explique su significado. ¿Qué indica el
signo menos?
(b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con una
fuerza que disminuye en proporción de 2 N/km, cuando
r 20 000 km. ¿Con qué rapidez cambia esta fuerza
cuando r 10 000 km?
La ley de Boyle expresa que cuando se comprime una muestra
de gas a una temperatura constante, el producto de la presión y
el volumen se mantiene constante: PV C.
(a) Encuentre la razón de cambio del volumen en relación con
la presión.