calculo-de-una-variable-1

572 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
(c) Construya un bosquejo aproximado de una posible solución
de esta ecuación diferencial.
14. Suponga que se sirve una taza de café recién preparado con
temperatura de 95C en una habitación donde la temperatura es
de 20°C.
(a) ¿Cuándo considera que el café se enfría con más rapidez?
¿Qué sucede con la rapidez de enfriamiento a medida que
pasa el tiempo? Explique.
(b) La ley de Newton del enfriamiento establece que la rapidez
de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia
de temperatura entre el objeto y el medio ambiente, siempre
que esta diferencia no sea muy grande. Escriba una ecuación
diferencial que exprese la ley de Newton del enfriamiento
para esta situación particular. ¿Cuál es la condición inicial?
En vista de su respuesta al inciso (a), ¿considera que esta
ecuación diferencial es un modelo apropiado para el
enfriamiento?
(c) Elabore un bosquejo aproximado de la gráfica de la solución
del problema con valores iniciales del inciso (b).
y
La
pendiente
en
(⁄, ›) es
⁄+›.
FIGURA 1
La solución de yª=x+y
La
pendiente
en
(¤, fi) es
¤+fi.
9.2
0 x
y
(0, 1)
La
pendiente
en (0, 1)
es 0+1=1.
0 x
CAMPOS DIRECCIONALES Y MÉTODO DE EULER
Desafortunadamente, es imposible resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales en el
sentido de obtener una fórmula explícita para la solución. En esta sección se muestra que, a
pesar de la ausencia de una solución explícita, se puede aprender aún mucho acerca de la solución
por un método gráfico (campos direccionales) o método numérico (método de Euler).
CAMPOS DIRECCIONALES
Suponga que se pide bosquejar la gráfica de la solución del problema con valores iniciales
y x y
y0 1
No se conoce una fórmula para la solución, así que ¿cómo puede bosquejar su gráfica? Considere
lo que significa la ecuación diferencial. La ecuación y x y indica que la pendiente
en cualquier punto x, y sobre la gráfica (llamada curva solución) es igual a la suma
de las coordenadas x y y del punto (véase figura 1). En particular, debido a que la curva pasa
por el punto (0, 1), su pendiente ahí debe ser 0 1 1. Así, una pequeña porción de la
curva solución cerca del punto (0, 1) tiene la apariencia de un segmento de recta corto que
pasa por (0, 1) con pendiente 1 (véase figura 2).
Como guía para bosquejar el resto de la curva, se dibujan segmentos de recta cortos
en varios puntos x, y con pendiente x y. El resultado se llama campo direccional
y se muestra en la figura 3. Por ejemplo, el segmento en el punto (1, 2) tiene pendiente
1 2 3. El campo direccional permite ver la forma general de las curvas solución indicando
la dirección en la que proceden las curvas en cada punto.
FIGURA 2
Comienzo de la curva solución
que pasa por (0, 1)
y
y
(0, 1)
0 1 2 x
0 1 2 x
FIGURA 3
Campo direccional para yª=x+y
FIGURA 4
Curva solución a través de (0, 1)