calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 9.4 MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL |||| 595
Así, la solución para la ecuación logística es
7
Pt
K
1 Ae kt
donde A K P 0
P 0
Al usar la expresión para Pt en la ecuación 4, se ve que
lo cual era de esperarse.
lím Pt K
t l
EJEMPLO 2 Escriba la solución del problema con valores iniciales
dP
0.08P1
P P0 100
dt
1000
y utilícela para hallar los tamaños de población P40 y P80. ¿En qué momento la
población llega a 900?
SOLUCIÓN La ecuación diferencial es una ecuación logística con k 0.08, capacidad de
soporte K 1 000, y población inicial P 0 100. Por lo tanto, la ecuación 7 da la
población en el tiempo t cuando
1000
1 000 100
Pt
donde A 9
1 Ae 0.08t 100
Así,
Pt
1000
1 9e 0.08t
Por consiguiente, los tamaños de población cuando t 40 y 80 son
1000
P40 P80 1000
6.4
985.3
1 9e 731.6 3.2 1 9e
La población llega a 900 cuando
Si de esta ecuación se despeja t, se obtiene
1000
1 9e 0.08t 900
& Compare la curva solución de la figura 3 con
la curva solución inferior que se trazó a partir
del campo direccional en la figura 2.
1000
P=900
0 80
FIGURA 3
P= 1000
1+9e _0.08t
1 9e 0.08t 10 9
e 0.08t 1 81
0.08t ln 1 81 ln 81
t
ln 81
0.08 54.9
De modo que la población llega a 900 cuando t es aproximadamente 55. Como comprobación
del trabajo, se grafica la curva de población en la figura 3 y se observa que cruza
la recta P 900. El cursor indica que t 55.