calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.8 MÉTODO DE NEWTON |||| 335
0.15
0 0.012
_0.05
FIGURA 1
& Intente resolver la ecuación 1 con el
buscador numérico de raíces de su calculadora
o computadora. Algunas máquinas no pueden
resolverla. Otras tienen éxito, pero requieren
que se les especifique un punto de partida
para la búsqueda.
y
FIGURA 2
y=ƒ
{x¡, f(x¡)}
0 r x x¡ x
L
una fórmula de este tipo (véase la nota de la página 210). Del mismo modo, no hay una fórmula
que permita hallar las raíces exactas de una ecuación trascendente como cos x x.
Puede hallar una solución aproximada para la ecuación 1 dibujando el lado izquierdo de
la misma. La gráfica de la figura 1 se produjo con un aparato graficador y después de experimentar
con los rectángulos de visualización.
Además de la solución x 0 que no interesa, hay una solución entre 0.007 y 0.008.
Un acercamiento muestra que la raíz es más o menos 0.0076. Si necesita más exactitud,
haga varios acercamientos, pero esto se vuelve tedioso. Una opción más rápida es usar
un buscador numérico de raíces en una calculadora o en un sistema algebraico para computadora.
Si así lo hace, encuentra que la raíz, correcta hasta nueve dígitos decimales, es
0.007628603.
¿Cómo funcionan estos buscadores numéricos de raíces? Se aplican diversos métodos pero
en la mayor parte se usa el método de Newton, que también se conoce como método
de Newton-Raphson. Se explica cómo trabaja este método, en parte para mostrar qué sucede
en el interior de la calculadora o computadora y, en parte, como una aplicación de la idea
de aproximación lineal.
En la figura 2 se muestra la geometría que se encuentra detrás del método de Newton, donde
se ha asociado una r a la raíz que intenta hallar. Empiece con una primera aproximación x 1 ,
la cual se obtiene por tanteos, o de un esquema aproximado de la gráfica de f a partir de la gráfica
de f generada por una computadora. Considere la recta tangente L a la curva y fx en
el punto x 1 , fx 1 y vea la intersección de L con el eje x, marcada como x 2 . La idea tras el
método de Newton es que la recta tangente está cercana a la curva y, por consiguiente, su intersección
con el eje x, x 2 , está cerca de la intersección de la curva con el eje x (a saber, la
raíz r que busca). Debido a que la tangente es una recta, puede hallar con facilidad su intersección
con el eje x.
Para encontrar una fórmula para x 2 en términos de x 1 , usa el hecho de que la pendiente
de L es fx 1 , de modo que su ecuación es
y f x 1 f x 1 x x 1
Como la intersección x de L es x 2 , se establece y 0 y se obtiene
0 f x 1 f x 1 x 2 x 1
Si fx 1 0, puede resolver esta ecuación para x 2 :
y
{x¡, f(x¡)}
x 2 x 1 f x 1
f x 1
Use x 2 como una aproximación para r.
En seguida repita este procedimiento con x 1 reemplazada por x 2 , usando la recta tangente
en x 2 , fx 2 . Ésta da una tercera aproximación:
x 3 x 2 f x 2
f x 2
{x, f(x)}
r
0
x¢
x£ x x¡ x
FIGURA 3
Si sigue repitiendo este proceso, obtendrá una sucesión de aproximaciones x 1 , x 2 , x 3 ,
x 4 , . . . , como se observa en la figura 3. En general, si la n-ésima aproximación es x n y
fx n 0, por lo tanto la siguiente aproximación se expresa con
2
x n1 x n f x n
f x n