calculo-de-una-variable-1

644 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
SIMETRÍA
Cuando se bosquejan curvas polares, a veces es útil aprovechar la simetría. Las tres reglas
siguientes se explican mediante la figura 14.
(a) Si una ecuación polar permanece sin cambio cuando u se reemplaza por u, la curva
es simétrica respecto al eje polar.
(b) Si la ecuación no cambia cuando r se reemplaza por r, o cuando u se sustituye por
u p, la curva es simétrica respecto al polo. Esto significa que la curva permanece
sin cambio si se hace girar 180º respecto al origen.
(c) Si la ecuación sigue igual cuando se reemplaza u por p u, la curva es simétrica respecto
a la línea vertical u p2.
(r, ¨)
(r, π-¨)
(r, ¨)
O
¨
_¨
(_r, ¨)
O
(r, ¨)
π-¨
O
¨
(r, _¨)
(a) (b) (c)
FIGURA 14
Las curvas bosquejadas en los ejemplos 6 y 8 son simétricas respecto al eje polar,
puesto que cosu cos u. Las curvas de los ejemplos 7 y 8 son simétricas respecto a
u p2 porque senp u sen u y cos 2p u cos 2u. La rosa de cuatro hojas
también es simétrica respecto al polo. Estas propiedades de simetría se podrían haber
usado para bosquejar las curvas. En el ejemplo 6, sólo se requiere hacer la gráfica de los
puntos para 0 u p2 y reflejar después respecto al eje polar para obtener el círculo
completo.
TANGENTES A CURVAS POLARES
Para hallar una línea tangente a una curva polar r fu se considera a u como un parámetro
y se escriben sus ecuaciones paramétricas como
x r cos f cos
y r sen f sen
Entonces, con el método para hallar pendientes de curvas paramétricas ecuación 10.2.2
y la regla del producto, se tiene
3
d
dy
dy
dx
dx
d
dr
d
dr
d
sen r cos
cos r sen
Se localizan tangentes horizontales al determinar los puntos donde dydu 0 siempre
que dxdu 0. Del mismo modo, se localizan tangentes verticales en los puntos
donde dxdu 0 siempre que dydu 0.
Observe que si se están buscando líneas tangentes en el polo, en tal caso r 0 y la ecuación
3 se simplifica a
dy
dx tan
si
dr
d
0