calculo-de-una-variable-1

320 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
TEC Vea la animación de la figura 21 en
Visual 4.6.
ce sobre 1, . Para c 1 hay un valor máximo absoluto f 1 1c 1. Para
c 1, f 1 1c 1 es un valor máximo local y los intervalos de incremento y de
decremento se interrumpen en las asíntotas verticales.
La figura 21 es una “presentación de transparencias” en que se exhiben cinco miembros
de la familia, todos con sus gráficas en el rectángulo de visualización 5, 4 por
2, 2. Como se predijo, c 1 es el valor en que ocurre la transición de dos asíntotas
verticales a una y, a continuación, a ninguna. A medida que c crece a partir de 1, el
punto máximo se vuelve más bajo; esto se explica por el hecho que 1c 1 l 0
cuando c l . Cuando c decrece a partir de 1, las asíntotas verticales se separan cada
vez más porque la distancia entre ellas es 2s1 c, la cual aumenta a medida que
c l . Una vez más, el punto máximo se aproxima al eje x porque 1c 1 l 0
cuando c l .
c=_1
c=0
c=1
c=2
c=3
FIGURA 21
La familia de funciones ƒ=1/(≈+2x+c)
Es evidente que no hay punto de inflexión cuando c 1. Para c 1 calcula que
f x 23x 2 6x 4 c
x 2 2x c 3
y deduce que se tiene punto de inflexión cuando x 1 s3c 13. De modo que
los puntos de inflexión se extienden al crecer c y esto parece plausible por lo que se ve
en las dos últimas partes de la figura 21.
4.6
; EJERCICIOS
1–8 Trace gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes
de la curva. En particular, use gráficas de f y f para estimar los
intervalos de incremento y de decremento, los valores extremos,
los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
1.
2.
f x 4x 4 32x 3 89x 2 95x 29
f x x 6 15x 5 75x 4 125x 3 x
3.
4.
5.
6.
f x x 6 10x 5 400x 4 2500x 3
x 2 1
f x
40x 3 x 1
x
f x
x 3 x 2 4x 1
f x tan x 5 cos x
7. f x x 2 4x 7 cos x,
4 x 4
8. f x e x
x 2 9
9–10 Elabore gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes
de la curva. Estime los intervalos de incremento y de decremento,
los intervalos de concavidad y aplique el cálculo para hallar con
exactitud estos intervalos.
9.
10.
f x 1 1 x 8 x 2 1 x 3
f x 1 x 8 2 108
x 4
11–12
(a) Grafique la función.
(b) Aplique la regla de l’Hospital para explicar el comportamiento
cuando x l 0.
(c) Estime el valor mínimo y los intervalos de concavidad. Luego,
mediante cálculo determine los valores exactos.
11. f x x 2 ln x
12. f x xe 1x