calculo-de-una-variable-1

340 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
gravitacionales de la Tierra y el Sol) se equilibran entre sí.
Estos lugares se conocen como puntos de libración. (En uno de
estos puntos de libramiento se ha colocado un satélite de investigación
solar.) Si m 1 es la masa del Sol, m 2 es la masa de la
Tierra, y r m 2m 1 + m 2, resulta que la coordenada x de
L 1 es la raíz única de la ecuación de quinto grado
px x 5 2 rx 4 1 2rx 3 1 rx 2
21 rx r 1 0
y la coordenada x de L 2 es la raíz de la ecuación
px 2rx 2 0
Utilizando el valor r 3.04042 10 6 , encuentre las ubicaciones
de los puntos de libramiento (a) L 1 y (b) L 2.
y
L¢
Tierra
Sol
L∞
L¡ L x
L£
4.9
ANTIDERIVADAS
Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en
un instante dado. Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el
agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un
biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede interesarse
en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En cada caso, el problema
es hallar una función F cuya derivada es en la función conocida f. Si tal función F existe, se
llama antiderivada de f.
DEFINICIÓN Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre un intervalo
I si Fx f x para todo x en I.
Por ejemplo, sea fx x 2 . No es difícil descubrir una antiderivada de f si utiliza la
regla de la potencia. En efecto, si Fx 1 , entonces . Pero la función
Gx 1 3 x 3 3 x 3 Fx x 2 f x
100 también satisface Gx x 2 . Por lo tanto, F y G son antiderivadas
de f. De hecho, cualquier función de la forma Hx 1 3 x 3 C, donde C es una constante,
es una antiderivada de f. Surge la pregunta: ¿hay otras?
Para contestar la pregunta, refiérase a la sección 4.2 donde se aplicó el teorema del valor
medio para demostrar que si dos funciones tienen derivadas idénticas en un intervalo, en
tal caso deben diferir por una constante (corolario 4.2.7). Por esto, si F y G son dos antiderivadas
cualquiera de f, entonces
y
0
x
˛
y= +3
3
˛
y= +2
3
˛
y= +1
3
y= ˛
3
˛
y= -1
3
˛
y= -2
3
así Gx Fx C, donde C es una constante. Puede escribir esto como Gx Fx C,
de modo que tiene el resultado siguiente.
1 TEOREMA Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada
más general de f sobre I es
donde C es una constante arbitraria.
Fx f x Gx
Fx C
FIGURA 1
Miembros de la familia
de antiderivadas de ƒ=≈
De nuevo con la función fx x 2 , se ve que la antiderivada general de f es 3 x 3 C
Al asignar valores específicos a la constante C, obtiene una familia de funciones cuyas gráficas
son traslaciones verticales de una a otra (véase la figura 1). Esto tiene sentido porque
cada curva debe tener la misma pendiente en cualquier valor conocido de x.
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