calculo-de-una-variable-1

468 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
EJEMPLO 1 Evalúe y s9 x 2
V
dx.
x 2
2
SOLUCIÓN Sea x 3 sen , donde 2 . Entonces dx 3 cos d y
s9 x 2 s9 9 sen 2 s9 cos 2 3 cos 3 cos
2
(Note que cos 0 porque 2 .) Así, la regla de sustitución inversa da
y s9 x 2
dx y 3 cos
x 2 9 sen 2 3 cos d
y cos2
sen 2
y csc 2 1 d
cot
d y cot 2 d
C
¨
FIGURA 1
3
œ„„„„„ 9-≈
x
Puesto que ésta es una integral indefinida, se debe volver a la variable original x. Esto
se puede hacer ya sea por medio de identidades trigonométricas para expresar cot u en
términos de sen u x3 o dibujando un diagrama, como en la figura 1, donde u se interpreta
como un ángulo de un triángulo rectángulo. Puesto que sen u x3, se marcan el
cateto opuesto y la hipotenusa con longitudes x y 3. Después por el teorema de Pitágoras
se obtiene la longitud del cateto adyacente como s9 x 2 , así que se puede leer simplemente
el valor de cot u en la figura:
sen ¨ = x 3
cot s9 x 2
x
(Aunque u 0 en el diagrama, esta expresión para cot u es válida aun cuando u 0.)
Puesto que sen u x3, se tiene u sen 1 x3 y, por lo tanto,
V
1 y s9 x 2
dx s9 x 2
sen x C
x 2 x
3
EJEMPLO 2 Determine el área encerrada por la elipse
x 2
a 2 y 2
b 2 1
SOLUCIÓN Resolviendo la ecuación de la elipse en favor de y, se obtiene
y
(0, b)
(a, 0)
0 x
y 2
b 1 x 2
2 a a 2 x 2
2 a 2
y b a sa 2 x 2
Debido a que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes, el área total A es cuatro
veces el área del primer cuadrante (véase figura 2). La parte de la elipse en el primer
cuadrante está dada por la función
o
y b a sa 2 x 2
0 x a
FIGURA 2
≈
a@
¥
+ =1
b@
y, por eso,
1
4 A y a b
0 a sa 2 x 2 dx