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9 ECUACIONES DIFERENCIALES Los campos de dirección nos permiten hacer un bosquejo de soluciones de una ecuación diferencial sin una fórmula explícita. Quizá la más importante de todas las aplicaciones del cálculo es a las ecuaciones diferenciales. Cuando los científicos emplean el cálculo, muy a menudo es para analizar una ecuación diferencial que ha surgido en el proceso de modelar algún fenómeno que están estudiando. Aun cuando frecuentemente es imposible hallar una fórmula explícita para la solución de la ecuación diferencial, los planteamientos gráficos y numéricos proporcionan la información necesaria. 566
9.1 & Ahora es un buen momento para leer (o volver a leer) la exposición de una representación matemático en la página 24. MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES Al describir el proceso de representación en la sección 1.2, se habló acerca de formular un modelo matemático de un problema del mundo real, ya sea por razonamiento intuitivo acerca del fenómeno o de una ley física en función de la evidencia de experimentos. El modelo matemático con frecuencia toma la forma de una ecuación diferencial, es decir, una ecuación que contiene una función desconocida y algunas de sus derivadas. Esto no es sorprendente, porque en el problema del mundo real, es común observar que ocurran cambios y se desea predecir el comportamiento futuro con respecto a cómo cambian los valores actuales. Se comienza por examinar varios ejemplos de cómo surgen las ecuaciones diferenciales cuando se representan fenómenos físicos. MODELOS DE CRECIMIENTO POBLACIONAL Un modelo para el crecimiento de una población se basa en asumir de que la población crece en una cantidad proporcional al tamaño de la población. Ésa es una suposición razonable para una población de bacterias o animales en condiciones ideales (ambiente ilimitado, nutrición adecuada, ausencia de predadores, inmunidad a enfermedad). Se procede a identificar y nombrar las variables en este modelo: t tiempo la variable independiente. P número de individuos en la población la variable dependiente. La rapidez de crecimiento de la población es la derivada dPdt. Así que la suposición de que la rapidez de crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la población, se escribe como la ecuación 1 dP dt kP P donde k es la constante de proporcionalidad. La ecuación 1 es nuestro primer modelo para el crecimiento poblacional; es una ecuación diferencial porque contiene una función desconocida P y su derivada dPdt. Una vez formulado un modelo, se consideran sus consecuencias. Si se descarta una población de 0, por lo tanto Pt 0 para toda t. Así, si k 0, entonces la ecuación 1 muestra que Pt 0 para toda t. Esto significa que la población siempre está creciendo. De hecho, cuando crece Pt la ecuación 1 muestra que dPdt se vuelve más grande. En otras palabras, la rapidez de crecimiento se incrementa cuando crece la población. La ecuación 1 pide hallar una función cuya derivada sea un múltiplo constante de sí mismo. Se sabe del capítulo 3 que las funciones exponenciales tienen esa propiedad. De hecho, si se establece Pt Ce kt , en tal caso Pt Cke kt kCe kt kPt FIGURA 1 La familia de soluciones de dP/dt=kP t Así, cualquier función exponencial de la forma Pt Ce kt es una solución de la ecuación 1. Cuando se estudia esta ecuación en detalle en la sección 9.4, se verá que no hay otra solución. Si se permite que C varíe por todos los números reales, se obtiene la familia de soluciones Pt Ce kt cuyas gráficas se muestran en la figura 1. Pero las poblaciones tienen sólo valores positivos y, por lo tanto, se está interesado sólo en soluciones con C 0. Y probablemente se tiene interés sólo en valores de t mayores que el tiempo inicial t 0. En la figura 2 se muestran las soluciones con significado físico. Si se escribe 567
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