calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.1 INTEGRACIÓN POR PARTES |||| 457
EJEMPLO 6 Demuestre la fórmula de reducción
& La ecuación 7 se llama fórmula de
reducción porque el exponente n ha
sido reducido a n 1 y n 2.
7
y sen n xdx 1 n cos x senn1 x n 1
n
y sen n2 xdx
donde n 2 es un entero.
SOLUCIÓN Sea
Entonces
u sen n1 x
du n 1 sen n2 x cos x dx
dv sen x dx
v cos x
así que la integración por partes da
y sen n x dx cos x sen n1 x n 1 y sen n2 x cos 2 x dx
Puesto que cos 2 x 1 sen 2 x, se tiene
y sen n xdx cos x sen n1 x n 1 y sen n2 x dx n 1 y sen n x dx
Como en el ejemplo 4, se resuelve esta ecuación para la integral deseada, pasando el
último término del lado derecho al lado izquierdo. Así, se tiene
n y sen n x dx cos x sen n1 x n 1 y sen n2 x dx
o bien,
y sen n x dx 1 n cos x senn1 x n 1
n
y sen n2 x dx
La fórmula de reducción (7) es útil porque al usarla de manera repetida se
podría expresar finalmente x sen n x dx en términos de x sen x dx (si n es impar) o
(si n es par).
x sen x 0 dx x dx
7.1
EJERCICIOS
1–2 Evalúe la integral por medio de la integración por partes con
las elecciones indicadas de u y dv.
11. y arctan 4t dt
12.
y p 5 ln p dp
1. y x 2 ln x dx ; u ln x,
dv x 2 dx
13. y t sec 2 2t dt
14.
y s 2 s ds
2. cos d ; u ,
y
dv cos d
15.
y ln x 2 dx
16.
y t senh mt dt
3–32 Evalúe la integral.
17.
y e 2 sen 3 d
18.
y e cos 2 d
3. y x cos 5x dx
4. y xe x dx
5. y re r2 dr
6. y t sen 2t dt
7. y x 2 sen x dx
8. y x 2 cos mx dx
9. y ln2x 1 dx
10. y sen 1 x dx
19.
y
0
t sen 3t dt
20.
y 1
x 2 1e x dx
0
21. 22. y 9 ln y
y 1
t cosh t dt
4 sy dy
0
23. y 2 ln x
24. y0 cos x dx
1 x dx 2