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SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 229
Los economistas llaman costo marginal al límite de esta cantidad, cuando x l 0 es decir,
la razón instantánea del cambio del costo con respecto al número de artículos producidos:
Como x suele tomar sólo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer que x tienda a
0, pero siempre podrá reemplazar C(x) con una función suave de aproximación uniforme,
como en el ejemplo 6.
Si se toma x 1 y n grande (de modo que x sea pequeño en comparación con n),
tiene
Así entonces, el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al costo
de elaborar una unidad más la (n 1)-ésima unidad.
A menudo, resulta apropiado representar una función de costo total con un polinomio
donde a representa el costo de los gastos generales (renta, calefacción, mantenimiento) y
los demás términos representan el costo de las materias primas, la mano de obra y demás.
(El costo de las materias primas puede ser proporcional a x, pero los costos de la mano de
obra podrían depender en parte de potencias mayores de x, debido a los costos del tiempo
extra y de las faltas de eficiencia relacionadas con las operaciones a gran escala.)
Por ejemplo, suponga que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de
producir x artículos es
Entonces la función de costo marginal es
C
costo marginal lím
x l 0 x dC
dx
Cn Cn 1 Cn
Cx a bx cx 2 dx 3
C(x) 10 000 5x 0.01x 2
El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es
C500 5 0.02500 $15artículo
Esto da la cantidad a la cual se incrementan los costos con respecto al nivel de producción,
cuando x 500, y predice el costo del artículo 501.
El costo real de producir el artículo 501 es
C501 C500 10 000 5501 0.01501 2
Cx 5 0.02x
$15.01
10 000 5500 0.01500 2
Advierta que C500 C501 C500.
Los economistas también estudian la demanda, el ingreso y la utilidad marginales, que
son las derivadas de las funciones de demanda, ingreso y utilidad. Éstas se consideran en
el capítulo 4, después de desarrollar las técnicas para hallar los valores máximos y mínimos
de funciones.
OTRAS CIENCIAS
Las razones de cambio se presentan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en conocer
la rapidez a la cual una masa incrustada de roca fundida se enfría por conducción del
calor hacia las rocas que la rodean. Un ingeniero desea conocer la proporción a la cual