calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN |||| 735
En seguida derive ambos miembros de la ecuación 2 y obtiene
3
f x 2c 2 2 3c 3 x a 3 4c 4 x a 2
Una vez más haga x a en la ecuación 3. El resultado es
x a R
f a 2c 2
Aplique el procedimiento una vez más. La derivación de la serie de la ecuación 3 origina
4
f x 2 3c 3 2 3 4c 4 x a 3 4 5c 5 x a 2
y la sustitución de x a en la ecuación 4 da
x a R
f a 2 3c 3 3!c 3
Ahora ya puede ver el patrón. Si continúa derivando y sustituyendo x a, obtendrá
f n a 2 3 4 nc n n!c n
Al resolver esta ecuación para el n-ésimo coeficiente c n , tiene
c n f n a
n!
Esta fórmula sigue siendo válida incluso para n 0 si adopta la convención de que 0! 1
y f 0 f . En estos términos, ha demostrado el teorema siguiente:
5 TEOREMA Si f se puede representar como una serie de potencias (expansión)
en a, es decir, si
f x
c n x a n
n0
x a R
entonces sus coeficientes los da la fórmula
c n f n a
n!
Si sustituye esta fórmula de c n de nuevo en la serie, observe que si f tiene un desarrollo
en serie de potencias en a, después debe ser de la forma siguiente:
6
f x
n0
f n a
n!
f a f a
1!
x a n
x a f a
2!
x a 2 f a
3!
x a 3