calculo-de-una-variable-1

726 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
En general, la prueba de la razón (o a veces, la prueba de la raíz) se debe usar para determinar
el radio de convergencia R. Las pruebas de la razón y la raíz siempre fracasan
cuando x es un extremo del intervalo de convergencia, de modo que es necesario verificar
los extremos por medio de alguna otra prueba.
EJEMPLO 4 Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie
3 n x n
n0 sn 1
SOLUCIÓN Sea a n 3 n x n sn 1. Por lo tanto
a n1
a n
3n1 x n1
sn 1
sn 2 3 n x
n
De acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge si 3 x 1 y es divergente
si 3 x 1. En estos términos, es convergente si x 1 y diverge si x 1 .
Esto quiere decir que el radio de convergencia es R 1 3
3
3.
Sabemos que la serie converge en el intervalo ( 1 3, 1 3 ), pero ahora es necesario probar
si hay convergencia en los extremos de este intervalo. Si x 1 3, la serie se
transforma en
3 n ( 1 3) n
n0 sn 1 n0
la cual es divergente. (Aplique la prueba de la integral o simplemente observe que es una
p-serie con p 1 .) Si x 1 2 1
3, la serie es
3 n ( 1 3) n
n0 sn 1
n0
la cual converge de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por lo tanto, la
serie dada de potencias converge cuando 1 , de modo que el intervalo de
convergencia es ( 1 3, 1 3 x 1 3
3] .
V EJEMPLO 5 Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la
serie
nx 2 n
n0 3 n1
SOLUCIÓN Si a n nx 2 n 3 n1 , entonces
a n1
a n
3 1 1n
1 2n x l 3 x cuando n l
1
sn 1 1
s1 1
s2 1
s3 1
s4
n 1x 2n1
3 n2
1 1 n x 2
3
3 n1
nx 2
n
Al aplicar la prueba de la razón, se ve que la serie es convergente si x 2 3 1 y
que es divergente si x 2 3 1. De modo que es convergente si x 2 3 y divergente
si x 2 3. Así que, el radio de convergencia es R 3.
l
3x n 1
n 2
1 n
sn 1
x 2
3
cuando n l