calculo-de-una-variable-1

256 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
V EJEMPLO 1 Demuestre (a) cosh 2 x senh 2 x 1 y (b) 1 tanh 2 x sech 2 x.
SOLUCIÓN
(a)
2
2
cosh 2 x senh 2 x e x e x
e 2x 2 e 2x
4
e x e x 2
2
e 2x 2 e 2x
4
4 4 1
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El arco Gateway en St. Louis se
diseñó aplicando una función coseno
hiperbólico (ejercicio 48).
(b) Empiece con la identidad demostrada en el inciso (a):
Si divide los dos lados por cosh 2 x, obtiene
cosh 2 x senh 2 x 1
1 senh2 x
cosh 2 x 1
cosh 2 x
o bien,
1 tanh 2 x sech 2 x
FIGURA 6
y
O
P(cos t, sen t)
Q x
≈+¥=1
La identidad demostrada en el ejemplo 1(a) proporciona una pista sobre el nombre de
funciones “hiperbólicas”:
Si t es cualquier número real, entonces el punto Pcos t, sen t queda en el círculo unitario
x 2 y 2 1 porque cos 2 t sen 2 t 1. En efecto, t se puede interpretar como la
medida en radianes de POQ de la figura 6. Ésta es la razón por la que las funciones
trigonométricas se denominan algunas veces funciones circulares.
De manera similar, si t es cualquier número real, entonces el punto Pcosh t, senh t
queda en la rama derecha de la hipérbola x 2 y 2 1 porque cosh 2 t senh 2 t 1 y
cosh t 1. Pero ahora t no representa la medida de un ángulo. Resulta que t representa el
doble del área del sector hiperbólico sombreado de la figura 7, de la misma manera como
en el caso trigonométrico t representa el doble del área del sector circular sombreado en la
figura 6.
Las derivadas de las funciones hiperbólicas son fáciles de calcular. Por ejemplo,
y
P(cosh t, senh t)
d
dx senh x d e x e
x
e x e x
cosh x
dx 2 2
0
x
Se da una lista de las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas en la tabla 1 siguiente.
El resto de las demostraciones se dejan como ejercicios. Observe la similitud con
las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas, pero advierta que los signos
son diferentes en algunos casos.
≈-¥=1
1
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
FIGURA 7
d
d
senh x cosh x
dx
d
dx
cosh x senh x
d
d
dx tanh x sech2 x
csch x csch x coth x
dx
sech x sech x tanh x
dx
d
dx coth x csch2 x