calculo-de-una-variable-1

624 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
DISPOSITIVOS DE GRAFICACIÓN
La mayor parte de las calculadoras y los programas de graficación se pueden usar para
graficar curvas definidas por ecuaciones paramétricas. De hecho, es instructivo observar
una curva paramétrica que es dibujada con una calculadora, porque los puntos se trazan en
orden a medida que se incrementan los valores del parámetro correspondiente.
3
_3 3
_3
FIGURA 9
EJEMPLO 6 Emplee un dispositivo de graficación para trazar la curva x y 4 3y 2 .
SOLUCIÓN Si se permite que el parámetro sea t y, entonces se tienen las ecuaciones
x t 4 3t 2
y t
Al usar estas ecuaciones paramétricas para trazar la curva, se obtiene la figura 9. Sería
posible resolver la ecuación dada x y 4 3y 2 para y como cuatro funciones de x y
graficarlas de forma individual, pero las ecuaciones paramétricas proveen un método
más fácil.
En general, si se requiere hacer la gráfica de una ecuación de la forma x ty, se
pueden usar las ecuaciones paramétricas
x tt
y t
Observe también que las curvas con ecuaciones y f xaquellas con las que se está más
familiarizado, gráficas de funciones se pueden considerar también como curvas con ecuaciones
paramétricas
x t y f t
Los dispositivos de graficación son particularmente útiles cuando se bosquejan curvas
complicadas. Por ejemplo, las curvas mostradas en las figuras 10, 11 y 12, serían virtualmente
imposibles de producir a mano.
8
2.5
1
_6.5 6.5
_2.5
2.5
_1
1
_8
_2.5
_1
FI GURA 10
x=t+2 sen 2t
y=t+2 cos 5t
FI GURA 11
x=1.5 cos t-cos 30t
y=1.5 sen t-sen 30t
FI GURA 12
x=sen(t+cos 100t)
y=cos(t+sen 100t)
Uno de los usos más importantes de las curvas paramétricas es en el diseño auxiliado
por computadora CAD. En el proyecto de laboratorio después de la sección 10.2, se investigarán
curvas paramétricas especiales, llamadas curvas de Bézier, que se usan de manera
extensa en manufactura, en particular en la industria automotriz. Estas curvas se usan
también para especificar formas de letras y otros símbolos en impresoras láser.
LA CICLOIDE
TEC Una animación en Module 10.1B,
muestra cómo se forma la cicloide
cuando se mueve el círculo.
EJEMPLO 7 La curva trazada por un punto P sobre la circunferencia de un círculo cuando
el círculo rueda a lo largo de una recta se llama cicloide véase fig. 13. Si el círculo tiene
radio r y rueda a lo largo del eje x, y si una posición de P está en el origen, determine
las ecuaciones paramétricas para la cicloide.