calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.5 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN |||| 443
longitud x b an. Luego escoja los puntos x 1 *, ..., x n * en subintervalos sucesivos y
calcule el promedio de los números f x 1 *, ..., f x n *:
f x 1 * f x n *
n
(Por ejemplo, si f representa una función de temperatura y n 24, esto quiere decir
que tome lecturas de la temperatura cada hora y luego promédielos.) Puesto que
x b an, puede escribir n b ax y el promedio de los valores es
f x 1 * f x n *
b a
x
1
b a f x 1* x f x n * x
1
b a n f x* i x
i1
Si deja que n se incremente, calcularía el valor promedio de un gran número de valores muy
poco separados. (Por ejemplo, promediaría lecturas de temperatura tomadas cada minuto
o hasta cada segundo.) El valor límite es
lím
n l
1
b a n f x* i x 1
i1
b a yb f x dx
a
& Para una función positiva, considere a esta
definición como
área
altura promedio
ancho
por la definición de una integral definida.
Por lo tanto, defina el valor promedio de f en el intervalo
f prom 1
b a yb f x dx
a
a, b como
V EJEMPLO 1 Determine el valor promedio de la función
[1, 2].
SOLUCIÓN Con a 1 y b 2
f(x) 1 x 2 en el intervalo
1 x x 3
f prom 1
1
b a yb f x dx
a 2 1 y2 1 x 2 dx
1
3
2
31
Si Tt es la temperatura en el tiempo t, es posible maravillarse si existe un tiempo
específico cuando la temperatura es la misma que la temperatura promedio. Para la
función temperatura dibujada en la figura 1, existen dos tiempos; justo antes del
mediodía y antes de la medianoche. En general ¿hay un número c al cual el valor de f es
exactamente igual al valor promedio de la función, es decir, f c f prom ? El teorema
siguiente dice que esto es válido para funciones continuas.
2
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Si f es continua en a, b,
entonces existe un número c en a, b tal que
es decir,
f c f prom 1
b a yb f x dx
a
y b
f x dx f cb a
a