calculo-de-una-variable-1

454 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
SOLUCIÓN POR MEDIO DE LA FÓRMULA 2 Sea
&
Es útil usar el patrón:
u
du
dv
v
Entonces
u x
du dx
dv sen x dx
v cos x
y, por lo tanto,
u d√ u √ √ du
y x sen x dx y x sen x dx x cos x y cos x dx
x cos x y cos x dx
x cos x sen x C
NOTA El objetivo de usar la integración por partes es obtener una integral más simple
que aquella con la que se inició. Así, en el ejemplo 1 se inició con x x sen x dx y se
expresó en términos de la integral más simple x cos x dx. Si se hubiera elegido u sen x
y dv x dx, entonces du cos x dx y v x 2 2, así que la integración por partes da
y x sen x dx sen x x 2
2 1 y x 2 cos x dx
2
Aunque esto es cierto, x x 2 cos x dx es una integral más difícil que la inicial. En general,
al decidir sobre una elección para u y dv, a menudo se intenta elegir u f x como una
función que se vuelve más simple cuando se deriva (o por lo menos no más complicada)
siempre y cuando dv tx dx se pueda integrar fácilmente para dar v.
V
EJEMPLO 2 Evaluar y ln x dx.
SOLUCIÓN Aquí no se tiene mucha elección para u y dv. Sea
u ln x
dv dx
entonces
du 1 x dx
v x
Al integrar por partes, se obtiene
y ln x dx x ln x y x dx
x
& Se acostumbra escribir x 1 dx como x dx.
x ln x y dx
& Compruebe la respuesta mediante
derivación.
x ln x x C
La integración por partes es efectiva en este ejemplo, porque la derivada de la función
f x ln x es más simple que f .