calculo-de-una-variable-1

134 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
que x 0, puesto que sólo está interesado en los valores grandes de x.) En este caso, la
mayor potencia de x en el dominador es x 2 , con lo cual tiene
y
0
1
y=0.6
x
lím
x l
3x 2 x 2
5x 2 4x 1 lím
x l
3x 2 x 2
x 2
5x 2 4x 1
x 2
2
lím
x l3 1 x 2 x 2
lím
x l5 4 x 1 x
lím 3 lím 1
x l x l x 2 lím 1
x l x 2
lím 5 4 lím
x l x l
lím
x l
1
x lím
x l
1
x 2
3 1 x 2 x 2
5 4 x 1 x 2
(por la ley de los Límites 5)
(por 1, 2 y 3)
3 0 0
5 0 0
(por 7 y el teorema 5)
3 5
FIGURA 7
y= 3≈-x-2
5≈+4x+1
Un cálculo semejante hace ver que el límite cuando x l también es 5. En la figura 7
se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función racional
dada se aproxima a la asíntota horizontal y 3 5 .
3
EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función
f x s2x 2 1
3x 5
SOLUCIÓN Al dividir tanto el numerador como el denominador entre x y aplicar las propiedades
de los límites tiene
s2x
lím
2 1
x l 3x 5
2 1 x 2
lím
x l
3 5 x
(puesto que sx 2 x para x 0)
lím
x l2 1 x
lím
2
lím
x l3
x 5
1
2 lím
x l x l x 2
lím 3 5 lím
x l x l
1
x
s2 0
3 5 0 s2
3
Por lo tanto, la recta y s23 es una asíntota horizontal de la gráfica de f.
Si calcula el límite cuando x l , debe recordar que para x 0,
tiene sx 2 x x . De donde, al dividir el numerador entre x, para
x 0 obtiene
1
x s2x 2 1 1
sx s2x 2 1 2 1 2 x 2