calculo-de-una-variable-1

338 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
1
y=cos x
y=x
0 1
FIGURA 7
proporciona una calculadora o una computadora. La figura 7 sugiere que utilice x 1 0.75
como la aproximación inicial. Entonces el método de Newton da
x 2 0.73911114
x 3 0.73908513
x 4 0.73908513
y así obtiene la misma respuesta de antes, pero con unos cuantos pasos menos.
Tal vez se pregunte por qué molestarse con el método de Newton si se tiene disponible
un dispositivo graficador. ¿Verdad que es más fácil hacer acercamientos repetidamente
y encontrar las raíces como en la sección 1.4? Si sólo se requieren una o dos cifras decimales
de exactitud, después el método de Newton es inapropiado y basta con cualquier
graficador. Pero si es necesario llegar a las seis u ocho cifras decimales, los acercamientos
continuos se vuelven molestos. En general, a menudo conviene usar una computadora y el
método de Newton uno tras otro: el aparato graficador para arrancar y el método de Newton
para terminar.
4.8
EJERCICIOS
1. En la figura se muestra la gráfica de una función f. Suponga
que se usa el método de Newton para obtener una aproximación
de la raíz r de la ecuación fx 0, con aproximación
lineal x 1 1.
(a) Dibuje las rectas tangentes que se usan para hallar x 2 y x 3,
y estime los valores numéricos de estas dos.
(b) ¿Sería x 1 5 una mejor aproximación inicial? Explique.
y
5–8 Use el método de Newton con la aproximación inicial dada x 1
para hallar x 3 , la tercera aproximación para la raíz de la ecuación
dada. (Dé sus respuestas hasta cuatro cifras decimales.)
5. x 3 2x 4 0,
x 1 1
1
6. 3 x 3 1 2 x 2 3 0,
7. x 5 x 1 0,
x 1 1
8. x 5 2 0,
x 1 1
x 1 3
2. Siga las instrucciones que se dieron para el inciso (a) del ejercicio
1, pero use x 1 9 como la aproximación de arranque
para hallar la raíz s.
3. Suponga que la recta y 5x 4 es tangente a la curva
y fx cuando x 3. Con el método de Newton para localizar
una raíz de la ecuación fx 0 y una aproximación inicial
de x 1 3, encuentre la segunda aproximación x 2.
4. Para cada aproximación inicial, determine gráficamente qué
sucede si se aplica el método de Newton para la función cuya
gráfica se muestra.
(a) x 1 0 (b) x 1 1 (c) x 1 3
(d) x 1 4
1
0 1 r
s
(e)
y
x 1 5
x
; 9. Use el método de Newton con la aproximación inicial x 1 1
para hallar x 2 , la segunda aproximación a la raíz de la ecuación
x 3 x 3 0. Explique cómo funciona el método dibujando
en primer lugar la función y su recta tangente en 1, 1.
; 10. Use el método de Newton con la aproximación inicial x 1 1
para encontrar x 2 , la segunda aproximación a la raíz de la ecuación
x 4 x 1 0. Explique cómo funciona el método dibujando
en primer lugar la función y su recta tangente en 1, 1.
11–12 Aplique el método de Newton para aproximar el número dado
correcto hasta ocho cifras decimales.
5
11. s30
12.
s1000
13–16 Aplique el método de Newton para aproximar la raíz indicada
de la ecuación correcta hasta seis cifras decimales.
13. La raíz de x 4 2x 3 5x 2 6 0 en el intervalo 1, 2
14. La raíz de 2.2x 5 4.4x 3 1.3x 2 0.9x 4.0 0 en el intervalo
2, 1
15. La raíz positiva de sen x x 2
16. La raíz positiva de 2 cos x x 4
0 1 3 5 x
17–22 Mediante el método de Newton determine todas las raíces de
la ecuación con seis posiciones decimales.
17. x 4 1 x
18. e x 3 2x