calculo-de-una-variable-1

456 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& En la figura 1 se ilustra el ejemplo 4
mostrando las gráficas de f x e x sen x
y Fx 1 2 e x sen x cos x. Como una
comprobación visual del trabajo, observe que
f x 0 cuando F tinene un máximo o un
mínimo.
Esto se puede considerar como una ecuación que se resolverá para la integral desconocida.
Al sumar x e x sen x dx a ambos lados, se obtiene
2 y e x sen x dx e x cos x e x sen x
12
F
Dividiendo entre 2 y sumando la constante de la integración, obtiene
_3
f
6
y e x sen x dx 1 2e x sen x cos x C
FIGURA 1
_4
Si se combina la fórmula para integración por partes con la parte 2 del teorema fundamental
del cálculo, se puede evaluar por partes integrales definidas. Al evaluar ambos
lados de la fórmula 1 entre a y b, suponiendo que f y t son continuas, y usar el
teorema fundamental, se obtiene
6
y b
a
b
f xtx dx f xtx] a y b
txf x dx
a
EJEMPLO 5 Calcule tan 1 xdx.
SOLUCIÓN Sea
y 1
0
u tan 1 x
dv dx
Entonces
du
dx
1 x 2 v x
Por consiguiente la fórmula 6 da
& Puesto que tan 1 x 0 para x 0, la integral
del ejemplo 5 se puede interpretar como el
área de la región mostrada en la figura 2.
y 1
tan 1 xdx x tan 1 1
x] 0 y 1
0
0
1 tan 1 1 0 tan 1 0 y 1
4 y 1
0
x
1 x 2 dx
x
1 x 2 dx
0
x
1 x 2 dx
y
y=tan–!x
Para evaluar esta integral se usa la sustitución t 1 x 2 (puesto que u tiene otro significado
en este ejemplo). Luego dt 2xdx, de modo que xdx 1 2 dt. Cuando x 0,
t 1; cuando x 1, t 2; así que
0
1
x
y 1
0
x
1 x dx 1 2 2 y 2 dt
1 2 ln
1 t
t 2
] 1
1 2ln 2 ln 1 1 2 ln 2
FIGURA 2
Por lo tanto,
y 1
tan 1 x dx
0
4 y 1
0
x
1 x 2 dx
4 ln 2
2